石东洋,王俊俊

(1.郑州大学数学与统计学院,河南郑州 450001)(2.平顶山学院数学与统计学院,河南平顶山 467000)

1 前言

众所周知,非线性发展方程的解通常无法直接用解析式写出来,或是写出来的表达式非常复杂,所以利用数值方法给出其近似解就显得尤为重要.而对于有限元方法这一主流方向,我们常见的线性化BE(Backward-Euler)方法和CN(Crank-Nicolson)方法凭借可以避免在每一个时间层都要求解非线性方程的劣势且不降低计算精度的优势,成为了该方向的研究热点之一.事实上,研究一个非线性发展方程的线性化有限元方法总会涉及到一个有限元解关于某种模的有界性问题,由于这些模的先验估计不容易直接得到,通常的处理技巧就是利用逆不等式.比如在二维的情况下,考虑有限元解有界时的经典做法是

其中un是原始问题的解,Ih是某个插值算子或者投影算子.由于通常有误差估计(m1,m2为某些正数),要使有界就不可避免的要对时间步长τ有一个限制,从而导致空间网格参数h与时间步长τ需要满足某个比值关系(即网格比).在实际计算中,这样的网格比经常会导致时间步长变的非常小,从而引起很长的耗时.因此,怎样甩掉这些限制就成了备受关注的课题.最近,为了克服这一严重缺陷,孙伟伟、李步扬、王冀鲁、高华东等学者都在此方面做出了许多有价值的工作.其主要思想(见文献[1])是通过引入一个时间离散方程系统,并利用其解Un把误差分裂成两部分——时间……