■任海涛

三角恒等变换是一种重要的数学思想和方法，三角恒等变换在解题中的主要作用是化简和求值。熟练掌握一些三角恒等变换的技巧，可以把复杂的关系用简单的形式表示出来，下面就该类问题进行归纳，供大家学习与参考。

一、运用函数与方程思想，整体代换

例1已知2 sinθ-cosθ=1，求的值。

解：设，则（1-t）sinθ+（1+t）cosθ=t-1，联立2 sinθ-cosθ=1，解得利用sin2θ+cos2θ=1，解得t=0或t=2。

评析：将所求式子设为t，然后看成关于sinθ，cosθ的方程，与已知条件联立，求出sinθ，cosθ的值，再结合同角三角函数的基本关系，建立关于t的方程求值。

二、运用转化与化归思想，巧妙变角

例2已知，则

解：由可得

评析：本题是条件求值问题，所求角是α，已知角是，所求角和已知角之间的关系是利用这种关系，直接转化可求出所求的值。

三、运用换元思想，合理转化

例3已知函数f x（）=sinx+cosx+sinxcosx，求f x（）的最大值。

解：令则所以故原函数可转化为函数

评析：利用已知条件中的特定关系，把式子sinx+cosx用t表示，实现变量替换，再利用二次函数的单调性求出最大值。

例4已知求证：a2+b2=1。

证明：由已知得1-b2≥0，1-a2≥0，即

设a=cosx，b=cosy，x，y∈ [0，π]。

因为x+y∈[0，2 π]，所以

故a2+b2=cos2x+cos2y=cos2x+

评析：由1-b2≥0，1-a2≥0，得这符合三角函数的有界性，故可考虑用三角换元法进行求解。