张树兴

(南京航空航天大学 理学院数学系,南京 211106)

本文研究如下双曲守恒律方程组

(1)

周期解的存在性,其中ρ,u分别表示密度和速度，κ>0是常数,γ是绝热指数,取值为1<γ<3.该方程组源自于等熵多方气体动力学方程组

(2)

守恒律方程组的周期解一直是许多数学工作者关注的问题,但由于初值的周期性,导致很难利用经典的Glimm格式得到周期解的存在性,但对于一些特殊方程,例如P方程组[1]和方程组(1),其在一定条件下的周期解是存在的.Frid[2]最早对这些方程进行研究,得到了当初值的全变差小于初值的震荡时,P方程组和方程组(1)周期解的存在性.Wang和Zhang[3]通过对近似解更精细的估计,推广了Frid关于P方程组的结论,得到了当初值U0∈L∩BVloc(R)时,存在属于L∩BVloc(R×R+)的周期解U(x,t).本文也是通过对方程组(1)近似解更加精细的估计,得到类似的结果.

对于方程组(1),若引入β满足2β=γ-1,则0<β<1.可求出特征值为

λ1=u-κρβ,λ2=u+κρβ.

令U=(ρ,u),记方程组(1)对应的1-Riemann不变量为w(U),2-Riemann不变量z(U),可求出(见文献[2],[4])

(3)

假设初值U0(x)=(ρ0(x),u0(x))满足

U0(x+L)=U0(x),x∈R

(4)

(5)

TV(U0(x))|[0,L)≜r<

(6)

其中,L为周期,得到的主要结论如下：

定理1 对于方程组(1),假设初值满足(4)～(6),并且满足

(7)

则存在L∩BVloc(R×R+)的全局周期解U(x,t),其周期也为L,并存在某个R>0,使得解满足

z(U(x,t))≤z0,w(U(x,t))≥w0

(8)

TV(U(x,t))|[0,L)

(9)

(10)

1 用Glimm格式构造的近似解

假设初值满足(7),在状态空间中定义一个区域

Ω={U∈R2|w(U)≥w0,z(U)≤z0}

(11)

根据Diperna[4]对于方程组(1)的Riemann问题的讨论,可知对任意左右状态Ul,Ur∈Ω,方程组(1)Riemann问题是可解的，并且解全部在Ω内.式(11)表达的区域也被称为方程组(1)的不变区域.在此先假设U关于时间一致有界,即存在不依赖于时间t的常数R>0,使得

(12)

关于R的存在性将由式(20)给出.

首先,将上半平面R×R+网格化,记网格空间和时间步长分别为l=Δx,h=Δt,满足CFL条件：

λh≤l,λ=sup{||λi||U∈R,i=1,2}.

另外,取……