摘 要：对于综合性要求较高的一类存在性问题，可以从函数的视角对问题进行分析.函数观是解题的通性通法，掌握至简的方法，才能解决更为广泛的问题，突出函数主线的解题策略，既有利于提高数学素养，又能做到知识与问题的双向促进与融合.

关键词：函数观;存在性问题;解题策略

作者简介：李广修（1961-），男，江苏宿迁人，本科，中学正高级教师，特级教师，研究方向：中学数学教学.

在解答数学题时，如果注意探求综合性要求较高的一类问题的求解“套路”，并用大一统的观点加以统摄，那么就会更深刻地认识数学知识、数学思想方法，更有效地提升解决数学问题的能力、提高数学素养.例如，关于动点、变量方面的一类存在性问题，具有“变”“联系”特征，把这类问题的解答纳入到大一统的函数观下，用函数值、函数值域及其关系主导解题活动，既可以深化对函数相关知识的认识，也可以形成解决这类问题的策略.请看下面例子.

例1 在平面直角坐标系xOy中，已知点P（1，1），若圆M：（x-2）2+y2=r2上存在两点A，B使得AP=2PB，则圆M的半径r的取值范围是.

分析 由已知，点P应在圆M内，线段AB应是圆M的过点P的弦，当点A的位置确定以后，点B的位置便唯一确定了.可以先让点A在圆M上运动，考察点P分AB的取值范围M，而暂不把考虑点P分AB为2.然后，由2属于M，就可以求出r的取值范围了.此法本质上运用了函数值、函数值域，以及它们之间的关系，不仅简捷地解答了问题，而且所使用的方法也具有一般意义.

解析 由已知，点P应在圆M内.如图1，设CD是过点P的圆M的任意一条弦，由于|PM|=2，则CPPD的取值范围是

r-2r+2，r+2r-2.

从而，存在两点A，B使得AP=2PB，当且仅当2∈[r-2r+2，r+2r-2].

于是，r-2r+2≤2≤r+2r-2，考虑到r>PM=2，

所以r的取值范围为（2，3 2].

例2 若仅存在一个整数x满足不等式x2+ax+2a<0，则正数a的取值范围是.

分析 先分参.由不等式x2+ax+2a<0，得x2<-a（x+2）.

因为a>0，x2≥0，所以关于x的不等式x2<-a（x+2）有解就必须x+2<0.

所以x2x+2>-a，且x+2<0.

于是，问题转化为：求正数a的取值范围，使得函数y=x2x+2（x<-2）的定义域中恰有一个整数，它的函数值大于-a.

解析 由上面的分析，可知x2x+2>-a，且x+2<0.

记f（x）=x2x+2（x<-2）.

则f ′（x）=x2+4xx+2（x<-2）.

当x∈（-∞，-4）时，f ′（x）>0，f（x）单调递增;

当x∈（-4，-2）时，f ′（x）<0，f（x）单调递减，

作函数的f（x）=x2x+2（x<-2）的图象以及水平直线y=-a，如图2.

由图象不难得出，不等式x2x+2>-a（x<-2）的整数解是-4，且，min{f（-3），f（-5）}≤-a

于是，a的取值范围是（8，253].

例3 设正项数列{an}的前n项和为Sn，数列{a2n}的前n项和为Tn，且Tn=4-（Sn-2）23.

（1）求证：数列{an}为等比数列;

（2）对于任意给定的正整数n，以及给定的正整数y，是否存在正整数x，使得an，2xan+1，2yan+2成等差数列？若存在，求出x的值;若不存在，请说明理由.

分析 仅分析（2）.由（1）得an=（12）n-1.又因为an，2xan+1，2yan+2成等差数列，得4×2x=4+2y，先考虑x，y取任意的正整数时，等式4×2x=4+2y两边的取值范围，探讨这两个取值范围的交集是否非空.

解析 （1）由Tn=4-（Sn-2）23，①

得Tn+1=4-（Sn+1-2）23.②

②-①，得an+12=（Sn-2）2-（Sn+1-2）23=（Sn-Sn+1）（Sn+Sn+1-4）3.

即an+12=-an+1（Sn+Sn+1-4）3.

因为an+1>0，所以an+1=4-Sn-Sn+13.③

于是an+2=4-Sn+1-Sn+23.④

④-③得an+2=12an+1，所以an+2an+1=12.⑤

在①中令n=1，2，并结合a1>0，a2>0，解得a1=1，a2=12.

故a2a1=12，⑥

根据⑤和⑥知，对一切正整数n，都有an+1an=12.

所以数列{an}为等比数列.

（2）因为an，2xan+1，2yan+2成等差数列，an=（12）n-1，

所以2×2x×（12）n=（12）n-1+2y×（12）n+1.

即4×2x=4+2y，2x=1+2y-2.

当y≥3时，等式2x=1+2y-2的左边的取值范围是偶数集的子集，右边的取值范围是奇数集的子集，此时无解;

将y=2代入2x=1+2y-2，得2x=2，所以x=1;

将y=1代入2x=1+2y-2，得2x=32，所以x无正整数解.

综上，若给定的y值是2，则存在x=1，对于任意给定的正整数n，an，2xan+1，2yan+2都成等差数列;若给定的y值不是2，则对于任意给定的正整数n，都不存在正整数x，使得an，2xan+1，2yan+2成等差数列.

对于以上三个存在性问题的求解，所使用的思想方法是统一的，将问题转化为函数值、函数值域方面的问题，用函数求导解答，并且所使用的知识是函数的核心知识，这体现了高中数学课程标准（2017年版）、高考所要求的注重數学通性通法.如果从更一般的角度细想一下，我们就会明白，任何一个科学原理若普遍到能将整个巨大的现象世界统一起来，那么它必是简单的：只有某个至为简单的原理，才能统治五花八门的大量问题，这些问题看起来似乎是彼此独立的且各具特征的.

（收稿日期：2019-09-18）