张权，史治宇

(南京航空航天大学 机械结构力学及控制国家重点实验室，江苏 南京 210016)

0 引言

基于灵敏度分析的参数模型修正基本思路是通过构造理论模型与实际结构之间在相同条件下动态特性的误差，然后选择修正参数进行修正，以尽量缩小理论模型与实际结构之间的误差为目的，最终获得一个较为精确的有限元模型。要实现此目标，首先初始模型需要建立得尽量准确，避免结构上的误差；其次要设法提高试验数据的精度；同时要开发稳定高效的修正算法。目前，使用较多的算法是二次规划优化算法，其在仿真算例的应用中，收敛速度快、修正效率高、修正结果准确可信。但在解决工程实际问题时，由于目标函数的构建问题，无法得到一个较为准确的有限元模型。

本文基于这样的背景，通过MATLAB编程调用NASTRAN进行计算分析，采用二次规划优化算法，并在此基础上研究了加权方法在模型修正中的应用，通过复合材料安装架的实例进行了验证。

1 模型修正理论

结构的有限元模型总共有n个设计参数，其中前m个为待修正的参数，设计参数可以表示为：

P=[P1,P2…Pm…Pn]T

(1)

对应的特征量可以表示为：

f=F(K,M)=F(fK(p),fM(p))=f(p)

(2)

其中：f 可以是结构任意的特征量，如模态频率、振型等。模型修正问题转化为如下的优化问题：

(3)

一般情况下，{fa(p)}是设计参数的非线性函数。为

了将非线性问题转化为线性问题，在初始设计点将{fa(p)}对待修正参数进行一阶泰勒展开：

{fa(p)}=fa(p0)+SΔP

(4)

其中p0是设计参数初始值。

(5)

S代表结构特征量对设计参数的灵敏度矩阵。Δp=p-p0代表设计参数的误差。利用拉各朗日乘数法，式(3)的极值问题转化为如下的线性问题：

SΔp=fe(p)-fa(p0)

(6)

式(6)就是常见的模型修正方程，且是一个迭代优化的过程。

2 加权方法的应用

在式(3)的基础上引入加权矩阵Wf，用来设定不同残差在模型修正过程中所占的权重；在优化目标中加入修正参数变化值，引入加权系数Wp，通过改变Wp的大小来限制修正参数的变化。则模型修正问题转化为如下的优化问题：

(7)

其中: Wf表示各残差的加权矩阵，具体如下：

(8)

式中：Wλ、WΦ、WMAC表示频率、振型和振型相关系数的加权系数。

Δp=p-p0代表修正参数的变化，Wp代表修正参数变化量的加权矩阵，具体如下：

Wp=wpB

(9)

(10)

g=diag(STWFS)

(11)

其中：mean表示对矩阵取平均，diag表示取矩阵的对角元素。当wp取较大值时，则修正参数的变化将变小。

3 安装架结构实例

3.1 模型介绍

图1所示为铝基复合材料安装架结构，结构长660mm，宽448mm，高550mm。框架结构由U型和L型型材通过铝质角铁和螺栓连接而成。框架底部由作用在2条长的U型型材下部的压板将其固定在地面上。对安装架结构进行模态试验，布置52个x向测点、54个y向测点，总共106个测点(图2)。

图1 铝基复合材料安装架实物图

图2 安装架有限元模型

结构由薄壁U型、L型铝基复合材料以及铝材角铁通过螺栓连接而成，采用壳单元对U型、L型型材和角铁进行有限元建模，采用刚性单元模拟螺栓连接，对底部Y向的U型型材下部节点施加约束，将其6个自由度的变形都设定为0，以此来模拟固支。这样建模能较精确模拟结构形式，又能得到较好的计算效率。其中四边形壳单元19 842个、三边形壳单元2 466个、刚性单元324个，节点总数24 673个，去除约束后结构的总自由度数为103 278。各种型材的材料厚度和力学参数如表1所示。

表1 各种型材的材料参数和厚度

3.2 模型修正计算与分析

建立好初始有限元模型后，在Nastran中对安装架结构有限元模型进行模态分析。有限元模态分析结果和试验结果的匹配情况如图3所示。

图3 安装架模型试验/有限元模态匹配图

U型和L型型材的E2和G12事先并不知晓，故在建模时根据经验给了一个值，这也是有限元模型无法与试验模型很好匹配的原因。故在修正时，选取U型和L型型材的E2和G12作为修正参数，对有限元模型进行修正。

以下分3种情况对模型进行修正：

1) Wλ=1，WMAC=1，wp=0，以1∶6阶模态频率和1∶6阶振型相关系数为目标(图4-图6)。

2) Wλ=1，WMAC=0.2，wp=0，以1∶6阶模态频率和1∶6阶振型相关系数为目标(图7-图9)。

3) Wλ=1，WMAC=0.2，wp=1，以1∶6阶模态频率和1∶6阶振型相关系数为目标(图10-图12)。

第1种情况修正结果如下：

图4 前6阶模态频率收敛图(1-6依次表 示第1至第6阶固有频率)

图5 MAC值收敛图(1-6依次表 示第1至6阶MAC值)

图6 参数收敛图(1-4依次代表U型型材的E2、G12和L型型材的E2、G12)

第2种情况修正结果如下：

图7 前6阶模态频率收敛图(1-6依次表 示第1至第6阶固有频率)

图8 MAC值收敛图(1-6依次表 示第1至6阶MAC值)

图9 参数收敛图(1-4依次代表U型型材的E2、G12和L型型材的E2、G12)

第3种情况修正结果如下：

图10 前6阶模态频率收敛图(1-6依次表 示第1至第6阶固有频率)

图11 MAC值收敛图(1-6依次表 示第1至6阶MAC值)

第1种情况Wλ=1，WMAC=1，wp=0，表示修正目标中频率残差和振型相关系数占相同的权重，即式(3)的模型修正问题。第2种情况Wλ=1，WMAC=0.2，wp=0，表示修正目标中频率残差占的权重要大于振型相关系数。

图12 参数收敛图(1-4依次代表 U型型材的E2、G12和L型型材的E2、G12)

第3种情况Wλ=1，WMAC=0.2，wp=1，在上一种情况的基础上加入了对修正参数变化量的限制，即式(7)的模型修正问题。

修正前，前6阶模态频率平均误差为8.01%，最大误差为13.83%，前6阶MAC值平均为0.89。1) 修正后，前6阶模态频率平均误差为4.24%，最大误差为7.79%，MAC值最大提升0.01。2) 修正后，前6阶模态频率平均误差为1.84%，最大误差为5.44%，MAC值最大提升0.06。3) 修正后，前6阶模态频率平均误差为1.92%，最大误差为5.54%，MAC值最大提升0.06。

比较1) 和2) 可以看出，当频率残差在修正中所占权重较大时，修正效果要远好于各残差所占权重相同时的修正结果。比较2) 和3) 可以看出，在进行相同次数迭代修正后，模态频率和MAC值变化几乎相同，且效果都远好于1) 。但是，从图9和图12，可以看出，2) 的修正参数变化太过剧烈，在目标函数中残差几乎不变的情况下，修正参数依然在大幅度改变，没有收敛的趋势；3) 的修正参数在目标函数中残差不怎么改变后也减小了改变量，修正参数缓慢变化，最后收敛。综合比较可知，3) 的结果更好，修正后有限元模型与实际结构贴合很好，修正参数的变化也在正常范围内，修正结果可信度高(表2)，具有较好的工程应用意义。

表2 3种情况修正后模态频率和MAC值变化对比

4 结语

目前工程实际中进行有限元模型修正时大多采用模态频率、模态振型和振型相关系数3种残差，本文采用了模态频率和振型相关系数2种残差。若在修正时目标函数中各种残差项所占权重相同，则修正效果不太好，因为模态频率是系统的主要特征参数，且识别精度高，修正时所占权重应该较大。当处理工程实际问题时，需要考察的不仅仅是修正后各项残差的变化，修正参数的变化也很重要。通过在目标函数中引入加权矩阵，控制修正参数的变化量，在获得几乎相同修正效果的同时避免修正参数无意义的变化，最后获得的结果更具有工程实际意义。