陈 星，王 艳，吴 漩

(重庆师范大学 数学科学学院，重庆 401331)(*通信作者电子邮箱905740114@qq.com)

0 引言

图像分割是图像处理的关键步骤，其目的是把图像分割成若干个具有独特性质的区域并对其中感兴趣的目标加以提取。到目前为止，大量的图像分割算法被提出，其中，几何活动轮廓模型凭借其独特的优势，如对分割目标具有较大的捕获范围、可有效地处理拓扑结构的变化等，近年来被广泛应用[1-6]。

几何活动轮廓模型可分为两大类，即基于边缘的活动轮廓模型[7-8]和基于区域的活动轮廓模型[9-10]。其中，前者利用图像的梯度信息驱使活动轮廓朝目标边缘移动，而后者利用的是图像的区域信息。这两类模型的分割效果取决于待分割图像所具有的具体特征，本文讨论的是基于区域的活动轮廓模型。

根据所利用的区域信息的特点，基于区域的活动轮廓模型又可分为基于全局图像信息的区域模型和基于局部图像信息的区域模型。分片常值(Piecewise Constant, PC)模型[11]是一个典型的基于全局图像信息的区域模型,常称为C-V(Chan-Vese)模型，其主要优点是计算的复杂度较低、演化结果对初始轮廓不敏感等，但其无法实现对图像的快速分割，且无法分割灰度不均图像和复杂图像。

为了提高图像分割的速度，研究者们从不同方向对C-V模型进行了改进，张开华等[12]提出的改进C-V模型，能够快速分割图像，且抗噪性较强；周小舟等[13]提出的基于C-V水平集的梯度加速模型，在提高分割速度的同时，可以提高分割精度且保证分割过程的稳定性。为了处理灰度不均图像，基于局部图像信息的区域模型被提出。如Zhang等[14]提出了一种局部统计活动轮廓模型(Local Statistic Active Contour Model, LSACM)，该模型可直接应用于3T和7T磁共振图像的同时分割和偏差校正。Li等[15]提出了著名的区域可变拟合(Region-Scalable Fitting, RSF)模型，但是其演化速度较慢；为了弥补RSF模型的不足，Zhang等[16]提出了局部图像拟合(Local Image Fitting, LIF)模型，实现了对灰度不均图像的有效分割，但其存在分割结果对初始轮廓的大小、形状和位置较为敏感的不足。

为了克服LIF模型的不足，许多学者通过融入全局图像信息使分割结果对初始轮廓的敏感度降低[17]。受此启发，本文借鉴基于变异系数的分片常值图像快速分割模型[18]的思想，在LIF模型的基础上融入全局图像信息，从而提出一个结合全局信息的局部图像灰度拟合模型，解决了LIF模型对初始轮廓的大小、形状和位置敏感的问题，而且在无初始轮廓的情形下，该模型也能快速分割一些真实图像和人造图像。

1 相关模型

1.1 LIF模型

LIF模型利用分片光滑函数来模拟原始图像，具体地讲，对于图像区域Ω中的任意一点x，图像的局部灰度拟合函数被定义为：

ILIF=m1Hε(φ)+m2(1-Hε(φ))

其中，图像局部加权平均灰度m1、m2的定义方式如下：

(1)

式中，Wk(x)是一个矩形窗口函数。LIF模型选取的是大小为(4k+1)×(4k+1)的矩形窗口函数Kσ(x)，其中，σ为标准差，k为小于σ的最大整数。

LIF模型的能量泛函定义为：

(2)

根据变分原理和梯度下降流方法，LIF模型最终的水平集演化方程为：

(3)

LIF模型能有效地分割灰度不均图像，但由于m1、m2为图像的局部加权平均灰度，只涉及到图像的局部灰度信息，并没有涉及到全局图像信息，所以该模型虽然能够有效地分割灰度不均图像，但是分割结果对初始轮廓的大小、形状和位置较为敏感。

1.2 基于变异系数的分片常值图像快速分割模型

文献[18]定义了如下能量泛函：

(4)

其中：μ、λ1、λ2均为常数；C表示演化曲线。

将正则化的Heaviside函数H(φ)引入式(4)中，则式(4)可转化为一个关于嵌入函数φ的能量泛函，固定φ，分别相对c1、c2极小化能量泛函式(4)，可得：

(5)

(6)

根据变分原理和梯度下降流方法，得到关于φ的欧拉方程：

(7)

其中，δε(φ)为正则化的Dirac函数。

(8)

该模型能够实现分片常值图像的快速分割，且对初始轮廓的鲁棒性较强，但由于不包含局部图像信息，因此不能有效地分割灰度不均图像。

2 本文模型

2.1 模型描述

第1.1节已经指出，LIF模型能够有效地分割灰度不均图像，但由于不包含全局图像信息，所以对初始轮廓的大小、形状和位置较为敏感。而文献[18]对初始轮廓大小、形状和位置的选取都不敏感，但由于不包含局部图像信息，所以不能较好地分割灰度不均图像。

本文直接从水平集演化的偏微分方程入手，构造一个包含局部项和全局项的偏微分演化方程。

局部项FL选取为LIF模型的右端项，即：

FL=δε(φ)(I-ILIF)(m1-m2)

(9)

其中ILIF=m1Hε(φ)+m2(1-Hε(φ))，m1、m2的计算方法和LIF模型相同，且本文和LIF模型选取相同的矩形窗口函数Kσ(x)，Hε(φ)和δε(φ)为正则化的Heaviside函数和Dirac函数，定义方式如下：

(10)

(11)

其中，c1、c2的计算方法和文献[18]相同。

综上所述，本文模型定义为：

(12)

其中，参数ω(ω>0)为权重系数，其作用是控制局部项和全局项对待分割图像的影响，局部项可以使本文模型有效地分割灰度不均图像，全局项可以实现对初始轮廓的鲁棒性，参数ω的具体取值取决于待分割图像的具体特征，如目标和背景的复杂程度。若图像比较简单，未呈现出较为严重的灰度不均，则ω应选取较大值；相反的，若图像比较复杂，呈现出严重灰度不均，则ω应选取较小值。因此，若适当选取ω，本文模型既能有效地分割灰度不均图像，又能使分割结果对初始轮廓的大小、形状和位置都不敏感。在本文中，除特别说明外，参数ω的默认值选取为1。

2.2 数值实现

φn+1=φn+Δt·F(φn)

(13)

在传统的水平集方法中，水平集函数通常初始化为符号距离函数，而且为了避免水平集函数在演化过程中过于陡峭和平滑，必须周期性地重新初始化水平集函数为符号距离函数，这将会导致计算复杂度较高、耗时较长。本文模型允许水平集函数初始化为二值函数和常值函数，而且在整个演化过程中，水平集函数φ无需重新初始化。此外，为了确保水平集函数的光滑作用，本文模型以Zhang等[19]提出的高斯滤波φ=Gζ*φ代替传统正则项div(▽φ/|▽φ|)δ(φ)来正则化水平集函数。

本文模型数值实现的算法步骤可归纳为以下几步：

步骤1 初始化水平集函数φ，并设置n=0。

二值水平集定义方式为：

常值水平集定义方式为：

φ0=φ(t=0)=0

其中，Ω0为图像区域Ω的一个子集，∂Ω0为Ω的边界。

步骤2 按照式(5)和式(6)计算c1(φn)、c2(φn)，按照式(1)计算m1(φn)、m2(φn)。

步骤3 按照式(13)演化水平集函数φ，得到φn+1。

步骤5 检查迭代过程是否收敛,若收敛，则停止演化；若不收敛，则设置n=n+1，并返回步骤2。

3 实验结果与分析

本章通过实验验证所提模型具有以下性能:1)能有效地分割灰度不均图像;2)对初始轮廓具有较强的鲁棒性，具体表现为对初始轮廓的大小、形状和位置都不敏感;3)在无初始轮廓的情形下，能快速分割一些真实图像和人造图像。

数值实现采用有限差分法，程序用Matlab R2016a编写，运行平台为Windows 10的联想电脑，处理器为Intel(R) Core (TM) i5-6200U CPU @ 2.30 GHz，内存为4.00 GB。

本文模型中，选取ε=1，ζ=0.5，Δt=0.005，m=5，除特别说明外，默认参数ω=1，参数σ的值在实验中具体给出。需要指出的是，若图像呈现出严重灰度不均，σ应选取较小值(0.2～6)，收敛的迭代次数相对较多，但迭代过程更稳定；若图像未呈现出较为严重的灰度不均，σ应选取较大值(6～15)，收敛的迭代次数相对较少，但σ的值不宜过大，否则会导致迭代过程不稳定(通常σ的取值在0.2～15)，各图中的迭代次数均为实验时图像得以正确分割且达到稳定状态的迭代次数。

3.1 对灰度不均图像的分割

文献[18]模型和本文模型分别对一幅像素大小为133×136的三相图像、一幅像素大小为335×333的人造图像、一幅像素大小为103×97的人造图像、一幅像素大小为217×227的大脑外轮廓图像的分割结果如图1所示，其中前两幅为灰度均匀图像，后两幅为典型的灰度不均图像。从图1可以看出：文献[18]模型只能分割灰度均匀图像，不能处理灰度不均图像；而本文模型既能分割灰度均匀图像，也能有效地分割灰度不均图像。在该实验中，选取的初始轮廓是以中心像素点为圆心，半径分别为50、50、25、50的圆形初始轮廓，参数σ分别选取为5、5、8、13，其中，后两幅图像的ω均选取为0.01。

图1 不同模型的分割结果对比Fig. 1 Segmentation result comparison of different models

3.2 初始轮廓大小的敏感性

LIF模型、LSACM和本文模型对一幅像素大小为135×126的遥感图像的分割结果如图2所示。从图2可以看出，当初始轮廓选取为一组圆心相同、半径不同的圆形时，本文模型的分割过程比较稳定，其分割结果不受圆形初始轮廓大小的影响；而LIF模型对圆形初始轮廓的大小较为敏感，分割结果依赖于初始轮廓半径的大小，LIF模型和LSACM的分割结果不准确。LIF模型、LSACM和本文模型的迭代次数和分割时间对比如表1所示(表1～4中的“—”均表示相应模型无法正确分割图像)。

从表1可以看出，本文模型的分割速度较LIF模型有了明显的提升，迭代次数和分割时间大致缩短为LIF模型的三分之一。此外，本文模型的分割时间明显少于LSACM。在该实验中，选取的初始轮廓是以中心像素点为圆心，半径大小分别为25、30、40、50的圆形初始轮廓，参数σ=1。

图2 圆形初始轮廓大小不同时不种模型的分割结果对比Fig. 2 Segmentation result comparison of different models with different initial circular contour sizes表1 不同模型分割图2中图像的迭代次数和分割时间Tab.1 Iteration numbers and segmentation times of images inFig. 2 segmented by different models

模型图像1迭代次数分割时间/s图像2迭代次数分割时间/s图像3迭代次数分割时间/s图像4迭代次数分割时间/sLIF23008.278216505.7890————LSACM1005.40291609.487030014.516650023.7972本文模型7002.58656502.40595302.05514301.5819

LIF模型、RSF模型、LSACM和本文模型对一幅像素大小为107×121的CT图像的分割结果如图3所示。

图3 矩形初始轮廓大小不同时不同模型的分割结果对比Fig. 3 Segmentation result comparison of different models with different rectangular initial contour sizes

从图3可以看出，当初始轮廓选取为一组形状相同、大小不同的矩形时，本文模型均能得到正确的分割结果；而LIF模型和RSF模型对矩形初始轮廓的大小较为敏感，若初始轮廓大小选取不当，将无法得到正确的分割结果，RSF模型和LSACM的分割结果不准确。LIF模型、RSF模型、LSACM和本文模型的迭代次数和分割时间对比如表2所示。从表2可以看出，本文模型的分割速度较LIF模型有了明显的提升，迭代次数和分割时间大致缩短为LIF模型的二分之一，分割时间少于LSACM。在该实验中，选取的初始轮廓为矩形初始轮廓，其大小分别(45：65,45：65)、(35：75,35：75)、(25：85,25：85)、(20：90,20：90)，其中 (a：b,c：d)表示一个对称中心位于原图像的((a+b)/2,(c+d)/2)点处、大小为(b-a)×(d-c)的矩形。LIF模型选取σ=2，本文模型选取σ=2.5、ω=0.1。

表2 不同模型分割图3中图像的迭代次数和分割时间Tab. 2 Iteration numbers and segmentation times of images in Fig. 3 segmented by different models

3.3 初始轮廓形状的敏感性

LIF模型和本文模型对一幅像素大小为63×58的灰度不均图像的分割结果如图4所示。从图4可以看出，当选取不同形状的初始轮廓时，本文模型的分割结果不受影响，且迭代次数比较稳定，均为140次左右；而LIF模型对初始轮廓的形状较为敏感，当初始轮廓的形状选取不当时，将不能得到正确的分割结果，且迭代次数也依赖于初始轮廓形状的选取。在该实验中，选取的初始轮廓为矩形初始轮廓，其大小分别为(25：35,25：35)、(25：45,25：35)、(25：35,25：45)、(25：30,25：60)，参数σ=3。

图4 初始轮廓形状不同时不同模型的分割结果对比Fig. 4 Segmentation result comparison of different models with different initial contour shapes

3.4 初始轮廓位置的敏感性

LIF模型、RSF模型、LSACM和本文模型对一幅像素大小为195×183的细胞图像的分割结果如图5所示。从图5可以看出，当选取不同位置的圆形初始轮廓时，本文模型的分割结果不受影响；LIF模型和RSF模型在初始轮廓的位置选取不当时不能正确分割图像，LSACM无法得到准确的分割结果。LIF模型、RSF模型、LSACM和本文模型的迭代次数和分割时间对比如表3所示。从表3可以看出，本文模型迭代次数较少，且分割时间少于LIF模型和LSACM。在该实验中，初始轮廓选取为位置不同、大小相同的圆形初始轮廓，其圆心的像素点分别为(0,0)、(+70,0)、(0,-70)、(0,+70)，半径大小均为15，LIF模型选取σ=10，本文模型选取σ=2.5。

图5 圆形初始轮廓位置不同时不同模型的分割结果对比Fig. 5 Segmentation result comparison of different models with different circular initial contour locations表3 不同模型分割图5中图像的迭代次数和分割时间Tab. 3 Iteration numbers and segmentation times of images inFig. 5 segmented by different models

模型图像1迭代次数分割时间/s图像2迭代次数分割时间/s图像3迭代次数分割时间/s图像4迭代次数分割时间/sLIF16515.0710——5150523.1069——RSF302.2447——55534.8911——LSACM809.0574808.998315016.9207809.0146本文模型4304.72441551.75951201.36241101.2584

LIF模型、RSF模型、LSACM和本文模型对一幅像素大小为88×88的血管图像的分割结果如图6所示。从图6可以看出，当初始轮廓选取为不同位置的矩形初始轮廓时，本文模型的分割结果不受影响；而LIF模型和RSF模型对矩形初始轮廓的位置较为敏感，其分割结果依赖于矩形初始轮廓位置的选取，此外，RSF模型和LSACM无法得到准确的分割结果。LIF模型、RSF模型、LSACM和本文模型对图5中四幅图像的迭代次数和分割时间对比如表4所示。从表4可看出，本文模型的迭代次数明显少于LIF模型，且分割时间少于LIF模型、RSF模型和LSACM。在该实验中，初始轮廓选取的是位置分别为(40：55,40：55)、(10：25,10：25)、(40：55,10：25)、(10：25,65：80)的矩形，参数σ=3、ω=0.3。

3.5 无需初始轮廓的图像分割

本文模型分别对一幅像素大小为146×142的二值图像、一幅像素大小为256×256的多目标大米图像、一幅像素大小为285×228的深度图像、一幅像素大小为136×136的渐变图像和一幅像素大小为211×161的真实图像的分割结果如图7所示。从图7可以看出，在无初始轮廓的情形下，本文模型可以快速有效地分割这些真实图像和人造图像。在该实验中，参数σ的值分别选取3、3.7、1、3。

图6 矩形初始轮廓位置不同时不同模型的分割结果对比Fig. 6 Segmentation result comparison of different models with different rectangular initial contour locations表4 不同模型分割图6中图像的迭代次数和分割时间Tab. 4 Iteration numbers and segmentation times of images inFig. 6 segmented by different models

模型图像1迭代次数分割时间/s图像2迭代次数分割时间/s图像3迭代次数分割时间/s图像4迭代次数分割时间/sLIF——6502.6171375015.0071——RSF4303.25713202.62884403.3604——LSACM1953.77091903.58272254.17542254.2208本文模型5152.09785302.15374351.75485152.1191

图7 无初始轮廓情形下本文模型对部分图像的分割结果Fig. 7 Segmentation results of partial images by the proposed model without initial contour

4 结语

本文提出一个以偏微分方程形式存在的结合全局信息的局部图像灰度拟合模型，该模型既能分割灰度均匀图像，也能有效处理灰度不均图像，而且对初始轮廓具有较强的鲁棒性，同时在无初始轮廓的情形下能够快速分割一些真实图像和人造图像。然而本文模型的迭代次数有待提高，且在无初始轮廓的情形下无法分割灰度不均图像，因此如何使得模型减少迭代次数，在无初始轮廓的情形下分割灰度不均图像等更多种类的图像，将是我们接下来的工作。