李 娜

（长春建筑学院基础教学部，吉林 长春 130607）

在实际生产和生活中有很多问题都涉及到函数的最值和极值.利用高阶偏导数或实二次型理论求解多元函数的极值，这种方法理论上对函数要求较高，并且计算过程繁难。MATLAB具有强大的计算和作图功能，可以帮我们方便快捷的解决极值问题。

如果函数是可导的，我们可以用MATLAB命令先找到驻点，然后再利用等高线找出极值点，求出极值。具体的过程见例1

例1 求 f（x,y）=x3-y3+3x2+3y2-9x 的极值

输入：Syms x y f=’x^3-y^3+3*x^2+3*y^2-9*x’;fx=diff（f,x）fy=diff（f,y）

输出为偏导函数fx=3*x^2+6*x-9 fy=-3*y^2+6*y

再用解方程组的命令求出驻点

[x y]=solve（’3*x^2+6*x-9=0’,’-3*y^2+6*y=0’）

x=1-3 1-3 y=0 0 2 2

得到四个驻点的坐标，

然后输入下面的命令，把函数的等高线的图形画出来（图1）

〉 〉 [x,y]=meshgrid（-5∶0.1∶3,-3∶0.1∶5）;

z=x.^3-y.^3+3*x.^2+3*y.^2-9*x;

〉 〉 contour（x,y,z,20）

输出如图，因为在两个极值点附近，函数的等高线是封闭的，在鞍点附近，等高线不封闭，从而可判断极值点是（-3，2），（1，0）.

注：此法的缺点是无法判断不可导点是极值的情形.

若函数高度非线性，没有导数或者导数很难计算的情况，可以采用直接搜索法。先观察图形，给定一个初始点，同时设定一定的步长和搜索方向，就能对问题的参数进行更新，使得函数值变小（大），常用的直接搜索法有单纯性法、最速下降法等.见例2

例 2 求 f（x1,x2）=（x1-x22）2+（1-x2）2的极值

输入 ezmesh（’（x-y）^2+（1-y）^2’），画出图形（图 2），观察可能的极值点在（0，1）附近，

所以以（0，1）为初始点，进行搜索求极值点

x=fminunc（@（x） （x（1）-x（2））^2+（1-x（2））^2,[0;1]）

x=1.0000 1.0000

注：此法的缺点是初始点的选择问题，还有可能不能求出全部的极值点.