秦澍祺 王国胜 梁 冰

（1.陆军装甲兵学院兵器与控制系，中国 北京 100072；2.江西理工大学信息工程学院，江西 赣州 341000）

0 引言

四旋翼是一个具有高机动的、非线性的、耦合的和欠驱动的系统。 所以许多研究人员设计了各种的线性、 非线性或者混合控制技术来控制四旋翼飞行器。比如传统的PID 控制器[1]、反步法控制器[2]、滑膜控制器[3]、模型预测控制器[4]和的线性二次型[5]控制器等。这些控制器一般使用恒定的控制增益作为状态反馈控制， 专注于对四旋翼无人机的稳态控制而不是轨迹或者目标跟踪的精度。 本文则提出使用线性二次型跟踪器（LQT），通过轨迹来调节控制增益从而更好追踪期望轨迹。 同时与线性PID 和LQR 控制器作为对比，三者都在状态估计上加入了相同的白噪声干扰模拟实际环境。

1 模型建立与线性化

四旋翼飞行器模型考虑为线性定常系统， 状态矩阵A、B、C 和D 都为静态的不随时间改变。定义如下：

x 为状态向量，y 为输出向量，u 为输入向量，根据文献[6]建立的四旋翼模型，线性化后状态空间矩阵A、B 为：

其 中，12 维 状 态 量[x y z u v w φ θ ψ p q r]T包括位置、速度、角度、角速度。CT，CM为升力系数和力矩系数，[Ixx,Iyy,Izz] 为转动惯量，we为悬停时电机转速，d为机臂长度，m,g 是质量与重力加速度。

2 LQT 控制器

首先需要将连续时间的线性定常系统离散化，将式（1）离散化，采样时间为0.01 秒，离散系统如下所示：

在式（3）中，Ad,Bd和Cd分别为离散时间的状态、输入和输出矩阵。“k”表示离散时间步长k=1,2,……，kf,k ∈Z+。 根据文献[7-9]中离散时间线性二次跟踪系统，定义最小化性能代价函数Jd：

其中F 和Q 为状态权重矩阵都为对称的正半定矩阵，R 为控制权重矩阵也为对称的正半定矩阵。r(k)是时变的轨迹状态向量，k 为时间步长遵循期望的轨迹，kf为期望轨迹最后一个时间步长。

求解LQT 时变增益方程式组如下：

式（5）可以通过最终的状态反向递归求解

则最终控制输入为：

3 仿真实验对比

四旋翼飞行器轨迹采用五阶多项式规划轨迹[10]，其中速度与加速度端点处为0。包括以下端点(0,0,0),(0,0,1),(1,0,1),(1,1,1),(0,1,1),(0,0,1),(0,0,0)，三个控制器仿真如下所示：

图1 方向轨迹跟踪仿真结果

上图是在相同的白噪声条件下使用三个控制器分别追踪相同的轨迹。

表1 控制器轨迹误差均方根误差

根据表1 均方根误差对比，LQR 控制器在位置精度上相对于PID 分别提升了31.5%、31.8%、18.6%，而LQT 控制器在位置精度上相对于PID 则分别提升了65.2%、65.4%、93.4%。 因 此，LQT 控 制 器 在 轨 迹 跟 踪精度上非常明显的好于另外两个控制器。

4 总结

本文主要针对四旋翼无人机估计追踪设计了离散时间的LQT 控制器， 控制器使用了时变的控制增益。首先， 通过建立非线性的四旋翼动力学模型并将其线性化和离散化。 然后， 根据轨迹和利用黎卡提方程反向递归求出时变的最优控制增益。 从仿真结果来看，LQT 控制器在轨迹跟踪精度上相对于PID 和LQR 控制器有大幅度的提升，该算法跟踪轨迹较为精确。