沈逸飞

摘要：中心极限定理在现代概率论中已经起到了非常重要的作用，本文对三种常见的中心极限定理进行了简要的介绍，并通过实际问题的举例对定理的应用进行了论述。

关键词：概率；中心极限定理；应用

1.概率论与中心极限定理

对于概率论这一理论而言，其最早是由两个著名的数学家费马以及帕斯卡所提出的。近些年来，伴随着越来越多的数学家的不断研究，这一理论已经变成了数学理论中的一个独立的分支了。不同于其他学科，概率和统计学科所得到的结果不是必然的，这门学科主要是对随机现象所具有的规律进行一个解释。由于现实生活里面大量的事物均是持续变化发展的，对于事物所产生的结果，我们并没有办法进行完全的掌控，因此对于概率统计而言，其条件和结果两者间也不是存在着必然的联系的，一般情况下，对于一个概率命题而言，其有可能出现A结果，同样也有能出现B结果。对于我们而言，不但要针对于概率命题进行一个精准的计算，并且还应该拥有分析实际问题的能力。在概率论里面有一个重要的定理就是中心极限定理，针对于数理统计以及误差分析理论而言，中心极限定理是其基础。目前这一理论具有很广泛的应用前景，特别是对于经济学而言，这一理论的运用在企业进行相关决策时有着很重要的作用。

2.三种中心极限定理的简述

2.1林德贝格-勒维中心极限定理

定理1：这里现在假设 为一个独立同分布的随机变量序

列的集合，同时 并且记：

那么对于实数y，则：

这一定理是由两个著名的数学家勒维以及林德贝格分别于1920年所提出来的，这一定理其告知我们针对于独立同分布的随机变量序列而言，它的共同部分既能够为连续分布的，同样也能够为离散分布的，能够为正态分布的，同样也能够为非正态分布的，只要是这个序列的共同分布存在着方差，同时这个方差的数值不是0，那么就能够对这个定理进行使用。

这个定理也可以这样理解：即当n的数值充分大的时候，能够通过标准正态分布对和有关事件的概率大小进行计算，但是在n的数值相对较小的时候，便不能夠确保这种近似程度了。因此在

的时候，那么就有

2.2李雅普诺夫中心极限定理

定理2：这里现在假设 是一个独立随机变量序列的集合，同时 记 符合

那么独立随机变量的总和 的标准化变

量 的分布函数 ，针对于任意的数值x，

符合 。

对于该定理而言，其是由著名的数学家李雅普诺夫于上个世纪提出来的，其表示：当处于一个理想的条件下的时候，随机变量

在n的数值非常大的时候，能够近似的服从标准正态分布，通过这一点能够看出，在n的数值非常大的时候，

会近似的服从正态分布 即对于每一个随机变量而言，不管其服从于哪一个分布，只要能够符合这个

定理，则总和 在n的数值非常大的时候，就会近似的服从于一个正太分布，正好解释了为什么对于正态随机变量而言，其在概率论里面会占有一个特别重要的地位。

2.3棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理

定理3：这里现在假设n重伯努利试验里面，A事件在每一次试验里面发生的概率大小是p，记 是n次试验里面A事件发生的

次数，那么记 那么对于一个任意的实数y，则有

。

其实这个定理是林德贝格-勒维中心极限定理的一种特殊情况，同时也为时间最早的中心极限定理。在18世纪的三十年代，著名的数学家棣莫弗对p=1/2对上面的定理进行了证明，到了后来，数学家拉普拉斯又将这个定理推广至p为一个任意的不超过1的正数上去了。

3.中心极限定理在实际问题中的应用举例

3.1在器件价格预算问题中的应用

例1：对于某一种器件而言，其使用年限是服从指数分布的，并且使用年限的平均值大小是20h，在使用的过程中如果一个器件出现了损坏，那么就会换上一个新的，一直这样下去，现在我们知道一个器件的成本是a元。现在需要我们求年计划里面应该针对于这种期间作一个多少的预算，才会有95%的概率够一年进行使用，这里我们假设一年中有两千个小时在进行使用。

这里假设第k个器件的使用年限是 ，因为 是服从于参数是 的指数分布，同时

这里现在假设在一年的时间里面最少要准备n个器件才可以存在95%的概率够用，记 通过2.2节的定理能够得出

也就是

因此 。通过查表得出：

因此，在年计划里面要针对于这种器件作118元的预算才有95%的概率够一年的时间进行使用。

3.2在设置座位数量问题中的应用

例2：某一所学校有900个学生对高等数学进行了选修，一共有6名老师讲课，现在假设每一个学生都是随机的对老师进行选择，同时学生和学生间进行老师的选择时也是相互独立的。那么求针对于每一个高等数学老师而言，教师里面要设置多少个座位才可以确保由于作为不够而导致学生离开的概率值会不超过1%。

解：仅仅需要对某一个老师甲的教室进行考虑，这里假设教室要设置M个座位，下面对随机变量进行定义：

按照题意 同时 是互相独立同分布的，对老师甲进行选择的学生总人数是 为了能够使得学生不会因为座位不够而离开教室，一定要确保M≥X，所以要

使得M符合 注意到

通过2.1节定理能够得出：

通过查表最后得出： ，

所以这里取M为177。

4.总结

本文通过中心极限定理对设置座位数量问题以及器件价格预算问题进行了求解，从而了解到该定理在现实中的应用非常的广泛，所以熟练的掌握这一定理对解决概率问题具有很大的帮助。

参考文献

[1]邢峰，邹广玉.φ-混合序列的随机中心极限定理[J].浙江大学学报（理学版），2018，45（04）：413-415.

[2]关丽红，李映红.随机序列几乎处处中心极限定理的注记[J].吉林大学学报（理学版），2018，56（02）：306-310.

[3]李杰，李爽，舒广文.基于PBL模式的统计学课程教学设计——以“中心极限定理”为例[J].高教学刊，2018（05）：106-108.