李志秀

(晋中学院数学学院,山西晋中030600)

先给出求矩阵最小多项式的特征多项式法[1-5]。

定义1设A∈Pn×n，在数域P上的以A为根的多项式，其中次数最低的最高次项系数为1的非零多项式称为矩阵A的最小多项式。

定理1设A是数域P上的一个n级矩阵，f(λ)是A的特征多项式，则f(A)=0。

定理2设g(x)是矩阵A的最小多项式，那么f(x)以A为根的充要条件是g(x)整除f(x)。

证明充分性是显然的，下面证明必要性。

设f(x)以A为根，因g(x)是A的最小多项式，可 设f(x)=q(x)g(x)+r(x) ，其 中r(x)=0或∂o(r(x) )＜∂o(g(x) )，所以f(A)=q(A)g(A)+r(A)，而g(A)=0且f(A)=0，故r(A)=0。如若r(x)不恒等于0，则有 ∂o(r(x) )＜∂o(g(x) )，这与g(x)是最小多项式矛盾，因此r(x)恒为0。故g(x)|f(x)。

定理3设A是数域P上的一个n级矩阵，A的特征多项式为,其中λ1,λ2,…,λs是互不相同的，mi(i=1,2,…,s)是正整数，且，则A的最小多项式为其中ki是在1,2,…,mi(i=1,2,…,s)中使g(A)=0的最小正整数。

证明因为f(λi)=0(i=1,2,…,s)，且λ1,λ2,…,λs是互不相同的，所以λ1,λ2,…,λs是A的互不相同的特征根，因而λ1,λ2,…,λs都是A的最小多项式的根，因此可设A的最小多项式为φ(λ),其中ki≤mi(i=1,2,…,s)是正整数，φ(λ)的首项系数为l，且φ(λi)≠0(i=1,2,…,s)。 因为f(λ)是A的特征多项式，由定理1，f(A)=0，且由定理1，可得g(λ)|f(λ),即。所以因为φ(λ)的首项系数为 1,ki≤mi(i=1,2,…,s),φ(λi)≠0(i=1,2,…,s),所以φ(λ)=1。从而都是正整数，由最小多项式定义可知，ki是1,2,…,mi(i=1,2,…,s)中使g(A)=0的最小正整数。

综上所述,用矩阵A的特征多项式求A的最小多项式的一般方法。其步骤如下：

设A是数域P上的一个n级矩阵，A的特征多项式为，其中λ1,λ2,…,λs是互不相同的，mi(i=1,2,…,s)是正整数，且，则A的最小多项式为1,2,…,s),然后依次取ki是 1,2,…,mi(i=1,2,…,s)，计算g(A)，直到找出使g(A)=0的最小正整数ki(i=1,2,…,s)为止。

例1设求A的最小多项式。

解A的特征多项式为

设A的 最 小 多 项式 为g(λ)=(λ-2)k1(λ-1)k2，(1 ≤k1≤2,1≤k2≤2),因为

所以k1=1，k2=2，因此A的最小多项式为g(λ)=(λ-2)(λ-1)2=λ3-4λ2+5λ-2。

下面讨论求解矩阵最小多项式的另外一种解法——Jordan标准形法。……