王文党　姚颖轲

摘 要：为了使GPS大地高向正常高转换的精度得到有效改善，需要在局部区域内，对区域的具体情况进行有效分析，建立多面函数模型进行高程拟合，提高模型的精度，增强最终的使用效果。本文以多面函数拟合法为切入点，借助相关的公式，选取分布均匀的GPS水准联测点和有关的函数形式，对各种数据进行有效整合，进行了详细的分析和探讨，增强高程拟合精度。

关键词：GPS高程；多面函数法；核函数

当前，水准测量仍然是建立高程控制基准的主要方法。对于工程建设来说，高程系统通常采用正常高系统，水准测量作为获取正常高的直接方法而得到普遍使用。采用GPS建立平面控制基准的精度毋庸质疑，高程定位精度仍需进一步研究和提高。对局局部区域工程控制网，可以采用数学方法建立合理的GPS高程拟合模型，GPS高程拟合的结果既可以验证水准测量的正确性，也可以作为精度要求较低的高程控制基准使用。本文对多面函数方法进行研究，建立多面函数模型对某工程控制网GPS点的高程异常进行拟合和分析，得出了一些有益的结论，并进行了实际应用。

1 多面函数拟合法的概念

多面函数拟合法，1971年由美国哈笛（Hardy）提出。1976年将此法应用于美国大地测量、拟合重力异常、大地水准面差距、垂线偏差等，1978年将此法用于地壳形变。它的基本思想是任何一个规则或不规则的连续曲面均可以由若干简单面（或称单值数学面）来叠加逼近。具体做法是在每个数据点上建立一个曲面，然后在方向上将各个旋转曲面按一定比例叠加成一张整体的连续曲面，使之严格地通过各个数据点，从而实现最终的逼近效果。这种方法与信息化、数字化社会具有密切联系，在人类生活、生产以及工程建设中具有非常广泛的应用。

2 GPS高程拟合基本特点

多面叠加的数学表达式为：

这里Q（x，y，xi，yi）为参加插值计算的简单数学面，又称为多面函数的核函数；n为简单数学面的张数或多层叠加面的层数，它的值与分块扩充范围内参与点的个数相等；Ki（i=1，2，3，…，n）为待定参数，它代表了第i个核函数对多层叠加面的贡献。为了计算方便，多层叠加面中的个核函数一般选用同一类型的简单函数，通常是围绕竖向轴旋转的曲面，这条竖正好通过某一参考点，例如：

这里为非零参数。在一段双曲线绕竖直轴旋转而成的曲面，当σ=0时，此曲面就退化为圆锥面。

在研究的过程中，需要注意为内插点到参考点之间的水平距离。

α为研究公式的参数。Q6是以高斯曲线为母线的旋转面，C0和a为两个参数。设已知参考点有m个，选择其中n个点作为节点（j=1，2，…，n≤m）记B=（a1，a2，…an）T，则同样有V=AX-ζ0误差方程，式中X为核函数矩阵。

当已知数m大于节点数n时，利用最小二乘法原理，可以根据A=（XTX）-1XTζ0计算方程系数，在核函数权阵的情况下，也可以计算方程系数。系数求出后，同样可以求出待求点的ζ，从而求出Hr。

如果已知数m等于节点数n时，方程唯一解，可以按线性方程求解。如下式：B=X-1s

这时待定点的解为：ζP=XPB=XPX-1ζ

这里补充说明，对于已知参考点个数等于误差方程系数的情况下，方程存在唯一解，只可以线性求解。这种方法的m个已知点，要求是高程异常显著点，即能很好描述该区域内高程异常分布的特征点，最好位于最高、最低及坡度变化处。

这种拟合法，虽然理论上严密，但使用上有些困难，特别是σ和核函数的选取，需要不断试验改进选取。下面就其中三个问题进行深入分析。

2.1 核函数的选择

Hardy的研究结果是对扰动位型调和函数拟合倒双曲面函数，对地形模型非调和型拟合正双曲面函数。在参考文献[5]的研究结果中，认为倒双曲面拟合效果良好。因此，在以前的研究中，大多数测量人员对倒双曲面的探讨比较多，而对其他核函数的研究没有涉及。

2.2 光滑系数的确定

优化的σ选取对其高拟合效果有作用，但比较困难，正如Hardy提出，是需要深入研究的一个问题。对于双曲面函数，文中取0～1000000对实验数据进行试验，结果表明σ越大，内插的曲面越平滑，但当大于某一值时将使结果出现很大的偏差。σ对于倒双曲面函数，σ必须大于零，否则无法计算，同时σ的取值也有正双曲面的性质，σ越大，内插的曲面越平滑。但当大于某一值时也将使结果出现很大的偏差。

2.3 核函数节点的选取

在大范围有较多的GPS水准点，即已知高程异常的点较多，可选其中部分作为节点，其余作为拟合高程异常的检核。此时，拟合结果就与所选节点不同而异，这是需要实验研究的问题。对于局部GPS网，GPS水准点不会很多，就可全部用来作为节点，进行拟合。

3 多面函数拟合高程异常

应用多面函数拟合内插高程异常，其中有3个问题需要进一步

研究。

3.1 核函数的选择

多面函数是属于纯数学通近方法，其差值精度与选用的核函数有密切的关系，高程变化大的地区内插的精度往往较低，所以我们要选择一个一成不变的核函数对各种地形进行最小二乘推估。只要高程变化大的地区保证了精度，对于平坦地区的推估，其核函数影响是不大的。对于待求点的估值实质上就是数据点的加权平均值。因而选择优良核函数的准则是：由它计算的权系数P要相对集中，并且数值稳定性好。在对地壳垂直运动中速率面的拟合采用正双曲线函数。

3.2 圆滑因子6的选择

优化选取δ对提高拟合效果有作用，但比较困难。对于倒倒双曲线函数，6必须大于0，否则无法计算。

3.3 函数结点的选取

在大范围有较多的GPS水准点，即已知高程异常的点较多，可选取其中部分点为结点，其余作为拟合高程的检核。此时拟合结果就与所选结点不同而异，这是需要试验研究的问题。对于局部GPS网，GPS水准点不会很多，可以用全部GPS水准点来作结点进行拟合。

4 模型选择与应用

某大型工程控制网有18个首级控制点，布设在水域的两岸，记为A1～A18。平面控制采用GPSB级标准进行，高程采用二等水准进行观测，采用成熟的平差软件进行计算，获得各点的GPS大地高，通过拟合似大地水准面来获得各点的高程异常值。

均匀选取控制网中8个点作为拟合函数的中心点，建立多面函数拟合模型，对剩余的10个点进行高程拟合，用拟合所得的高程与已知的水准高程进行比较，来验证多面函数拟合的精度。为分析核函数形式的选取对拟合效果的影响，选取了三种不同的核函数建立多面函数模型。

通过相关数据可以得出，拟合所得高程与已知高程相比较，最大偏差为-0.02675mn和-0.0238m，拟合效果比较好；采用后一种核函数建立高程拟合模型，拟合的效果低于第一种情况。拟合结果说明：选取的核函数形式不同，拟合效果的差异很大。选用上述第一种多面函数模型进行高程拟合，可以满足利用全站仪进行施工放样和检核的需要，根据工程阶段性的高程放样精度要求，多面函数模型拟合的高程是可以使用的。

5 结束语

在科学技术的发展下，数字化在铁路工程中应用的越来越广泛，对社会信息化的进步作出了积极有益的贡献，催生了新的经济增长点，在实际工作中，这一技术的使用范围愈加广泛。在研制的过程中，需要以GPS软件平台为基础，通过二次开发，将人力、物力、财力等进行有效结合，增強应用开发软件数据的精确性和统一性，使数据实现有效分享。在计算机技术不断发展的过程中，数字产品将迎来更加开放的平台，未来将会有更好的软件和方法服务于人类社会。

参考文献

[1]吴迪军，熊伟.跨海桥梁GPS高程拟合方法[J].测绘科学.2017（06）.

[2]王强，崔希民，张恒璟，杜俊秀.多项式拟合模型在GPS水准测量中的应用[J].测绘工程.2014（08）.

[3]王建忠.GPS高程拟合精度浅析[J].西部探矿工程.2014（06）.