吴彤 季小玲 李晓庆 王欢 邓宇 丁洲林

(四川师范大学物理与电子工程学院,成都 610068)

(2018年5月28日收到;2018年9月13日收到修改稿)

1 引 言

在湍流介质中光学传递函数取决于光波结构函数,而光波空间相干长度是表征湍流中光波结构函数的唯一参量,它在表征湍流强度和光传输相位校正技术中起着重要作用[1,2].目前,大气湍流中光波特征参量(如光波结构函数、光波空间相干长度、Fried参数和光波闪烁指数等)的研究理论已较成熟.与大气湍流不同,海洋湍流是由温度和盐度变化引起水折射率起伏而造成的[3].近年来,由于水下光通信、成像和传感等应用的兴起,海洋湍流对光波传输特性和成像特性影响的研究受到了极大的重视[4−16].2014年,Lu等[4]推导出了海洋湍流中波结构函数和空间相干长度的解析公式.2016年,Pu和Ji[5]推导出了海洋湍流中Fried参数的解析公式,并修正了用光学传递函数表征的海洋湍流中光成像模型.

然而,之前的研究[4−16]均采用了Nikishov等[3]建立的海洋湍流功率谱模型.值得指出的是,Nikishov等建立的海洋湍流功率谱模型存在一定的弊端,即该模型假设了海水有着稳定的分层,小密度层始终在大密度层之上.这样,海水热传递与盐分转移有相似的物理机制,此时涡流热扩散率KT与涡流盐扩散率KS被当作常数,甚至彼此相等(温度和盐度扩散对海水密度变化的影响相同),即涡流扩散率dr=KS/KT≡1[3].实际上,由于地表水受风和大气热交换的影响,海水通常不是稳定分层的,特别是在中高纬度地区,这种密度分层将会减少,甚至消失.2017年,Elamassie等[17]提出了新的海洋湍流功率谱模型,该模型考虑了实际水下环境中分层的不稳定性、温度与盐度的涡流扩散率彼此不相等的情况,因此更具合理性.本文基于Elamassie海洋湍流功率谱模型,重新推导出海洋湍流中光波结构函数、光波空间相干长度和Fried参数的解析公式,并校验所得解析公式的正确性.研究发现,采用Elamassie海洋湍流功率谱模型与采用Nikishov海洋湍流功率谱模型所得结果差异很大.因此,本文研究结果具有重要意义.

另一方面,激光在湍流介质中传输要造成光束扩展和漂移.涡流小尺度引起的衍射效应造成光束扩展,涡流大尺度引起的折射效应造成光束漂移[1].光束漂移和光束扩展的综合效应被称为长期光束扩展,它包括短期光束扩展和光束漂移,是评估沿光路光强分布的主要参数之一[18].基于Nikishov等建立的海洋湍流功率谱模型,Lu等[19]研究了高斯光束在海洋湍流中的光束漂移,Yang等[20]研究了部分相干高斯光束在海洋湍流中的短期光束扩展.本文基于Elamassie海洋湍流功率谱模型,推导出准直和聚焦高斯光束短期光束扩展半解析公式,并验证其正确性.研究还表明:海水稳定分层与否,短期光束扩展差异很大.需要指出的是,本文只研究光学湍流对光波特征参量和短期光束扩展的影响,未考虑其他复杂因素.

2 海洋湍流中光波特征参量

2017年,Elamassie等[17]建立了各向同性且非均匀海水介质中海洋湍流折射率起伏空间功率谱模型,即

其中, δ=8.284(κη)4/3+12.978(κη)2, κ是空间波数,η是Kolmogorov内尺度;ε表示海水单位质量湍流动能耗散率,其取值范围为10−10—10−1m2/s3;χT表示海水温度方差耗散率,其取值范围为10−10—10−4K2/s;ω表示海洋湍流功率谱中温度与盐度起伏引起折射率变化贡献的比率,其范围取值为[−5,0],−5和0分别对应于温度和盐度变化引起的光学湍流[10];α是热膨胀系数;C0=0.72,C1=2.35;AT=C0C−21P−1T,AS=C0C−21P−1S,ATS=0.5C0C−21P−1TS;PT和PS分别为温度普朗特数和盐度普朗特数,PTS=(PT+PS)/(PTPS).涡流扩散率dr定义为[17,21]

其中,KS和KT分别为涡流热扩散率和盐扩散率.涡流比RF是关于ω的分段函数[17]:

2000年,Nikishov等[3]建立的各向同性且均匀的海水介质中海洋湍流功率谱模型为

(4)式功率谱假设了涡流热扩散率和盐扩散率始终相等(即dr=KS/KT≡1),意味着海水有着稳定的分层(即小密度层始终在大密度层之上).但实际水下环境中,海水的分层一般是不稳定的.当dr≡ 1时,(1)式可化简为(4)式,即(4)式是(1)式的特例.

图1 海洋湍流功率谱模型Φn(κ)与Φn(κ)|dr≡1的相对差值∆随ω的变化Fig.1. Relative difference∆of the power spectrum model of oceanic turbulence between Φn(κ)and Φn(κ)|dr≡1vs ω.

图1给出了以上两种海洋湍流功率谱模型的数值结果比较,其中

计算参数为η=1 mm,α=2.6×10−4l/deg,ε=10−5m2/s3, χT=10−7K2/s, κ =500,AT=1.863× 10−2,AS=1.9× 10−4和ATS=9.41×10−3.图1表明:两种海洋湍流功率谱模型差异很大.当|ω|>1时(即温度变化引起的光学湍流占主导地位),Φn(κ)> Φn(κ)|dr≡1,Nikishov等的海洋湍流功率谱模型把湍流强度低估了;当|ω|<1时(即盐度变化引起的光学湍流占主导地位),Φn(κ)< Φn(κ)|dr≡1,Nikishov等的海洋湍流功率谱模型把湍流强度高估了;当|ω|=1时(即温度与盐度引起的海水密度变化贡献相同),Φn(κ)= Φn(κ)|dr≡1.

2.1 波结构函数与空间相干长度

Rytov近似下,各向同性且非均匀海水介质中,平面波的波结构函数可表示为[1]

其中,ρ为两点间距;J0(·)为零阶贝塞尔函数;L为传输距离;波数k=2π/λ,λ为光波波长.将零阶贝塞尔函数展开成幂级数形式,并将(1)式代入(5)式后得到:

其中Γ(·)是伽马函数,pFq(a1,···,ap,b1,···,bq;x)是一般超几何函数,p和q均为正整数[1]. 可以证明,对于Elamassie功率谱(1)式及其各参数取值范围,不等式成立.根据一般超几何函数F和合流pq超几何函数mFm(m为正整数)的定义,并依照文献[4]中的推导方法,当海水盐度为35%,温度为20◦C时(即PT≈ 7,PS≈ 700,AT=1.863×10−2,AS=1.9×10−4,ATS=9.41×10−3)[22],经过非常复杂的运算,我们得到海洋湍流中平面波波结构函数的解析表达式为

空间相干函数M(ρ,L)=exp[−D(ρ,L)/2],根据空间相干长度ρ0的定义M(ρ0,L)=e−1(即D(ρ0,L)=2)[1,2],并利用(9)式,可得到海洋湍流中平面波的空间相干长度ρ0,pl为

另一方面,Rytov近似下,各向同性且非均匀海水介质中球面波的波结构函数可表示为[1]

其中ξ=1−z/L是归一化距离变量,z为可变距离(0

和海洋湍流中球面波的空间相干长度ρ0,sp为

可以证明:当α=2.6×10−4l/deg,η=1 mm和dr=1时,按照Elamassie海洋湍流功率谱模型推导出的波结构函数和空间相干长度的解析结果(即(9),(10),(12)和(13)式)可简化为文献[4]中相应的结果.因此,文献[4]中的结果仅是本文研究结果的特例.

根据(9),(10),(12)和(13)式,可以得到

(14)式表明,按照Elamassie海洋湍流功率谱模型推导出的波结构函数在惯性范围内依然满足Kolmogorov三分之五定律,该结果与大气湍流中的结果一致.

图2 波结构函数D(ρ,L)的解析结果与积分结果的比较Fig.2.Comparison of the wave structure function D(ρ,L)between analytical results and integral results.

为了验证本文得到解析结果的正确性,图2给出了波结构函数的解析式与积分式的数值比较结果,计算参数为λ=0.417µm,L=30 m,η=1 mm,α=2.6×10−4l/deg和ρ ≫ η.图2表明:波结构函数D(ρ,L)解析式(9)和(12)与积分式(5)和(11)的数值计算结果完全一致.此外,由图2可知:ω,χT增大或ε减小,则D(ρ,L)增大,即海洋湍流增强;平面波波结构函数大于球面波波结构函数.

图3 波结构函数D(ρ,L)与D(ρ,L)|dr≡1的相对差值∆1随ω的变化Fig.3.Relative difference∆1of the wave structure function between D(ρ,L)and D(ρ,L)|dr≡1vs ω.

图3给出了本文所得波结构函数解析结果与文献[4]中对应结果(dr≡1)的比较,其中

计算参数为λ=0.417µm,L=30 m,η=1 mm,α =2.6× 10−4l/deg,ε=10−5m2/s3,χT=10−7K2/s,ρ =3 mm和ρ ≫ η. 图3表明两者差异很大,当|ω|>1时(即温度变化引起的光学湍流占主导地位),D(ρ,L)>D(ρ,L)|dr≡1;当|ω|<1时(即盐度变化引起的光学湍流占主导地位),D(ρ,L)

2.2 Fried参数

海洋湍流中长曝光成像分辨率可表示为[23]

其中,MTF0和MTFLE分别是透镜调制传递函数和长曝光成像调制传递函数,Ω为空间角频率.当满足D0/ρ0≫ 1时(D0为光瞳孔径),只考虑MTFLE的影响,忽略MTF0的影响[1],将(9)式代入长曝光成像调制传递函数MTFLE=exp[−D(λΩ)/2]中,并考虑ρ = λΩ[1],(15)式可简化为极限分辨率Rmax,即

当满足D0/ρ0≪1时,只考虑MTF0的影响,忽略MTFLE的影响[1],(15)式可简化为R0:

依据Fried参数r0的定义[23],将(17)式中的D0替换为r0,并令(16)式与(17)式相等,可得到平面波Fried参数r0,pl为

同理,可得球面波Fried参数r0,sp为:

可以证明:当α=2.6×10−4l/deg,η=1 mm和dr=1时,按照Elamassie海洋湍流功率谱模型推导出的Fried参数的解析结果(即(18)和(19)式)可简化为文献[5]中相应的结果.因此,文献[5]中的结果仅是本文研究结果的特例.并且,比较2.2节与2.1节的结果,可以得到:r0,sp≈ 2.1ρ0,sp和r0,pl≈ 2.1ρ0,pl,该结果与大气湍流中的结果一致.

图4 Fried参数随海洋湍流参数的变化 (a)ω;(b)ε;(c)χTFig.4.Curves of Fried parameter versus the oceanic turbulence parameters:(a)ω;(b)ε;(c)χT.

Fried参数随海洋湍流参数变化曲线示于图4,计算参数为λ=0.532µm,L=30 m,η=1 mm,α =2.6×10−4l/deg和ρ0≫ η.由图4可知:ω,χT增大或ε减小,则r0减小,即湍流增强,光波相干性变差;平面波Fried参数小于球面波Fried参数.

图5给出了本文所得Fried参数解析结果与文献[5]中的对应结果(dr≡ 1)的比较,其中∆2=(r0|dr≡1−r0)/r0,计算参数为λ =0.532µm,η=1 mm,α =2.6×10−4l/deg,ε=10−5m2/s3,χT=10−7K2/s,L=30 m和ρ0≫ η.图5表明两者差异很大.当|ω|>1时(即温度变化引起的光学湍流占主导地位),r0r0|dr≡1,Nikishov海洋湍流功率谱模型把Fried参数值低估了,即海洋湍流强度被高估了;当|ω|=1时,r0=r0|dr≡1.

图5 Fried参数r0与r0|dr≡1的相对差值∆2随ω的变化Fig.5.Relative difference∆2between the Fried parameter r0and r0|dr≡1vs ω.

3 海洋湍流中短期光束扩展

海洋湍流中,长期光束扩展W2LT可以表示为[1]

其中,Λ=2L/(kW2)为接收端的光束菲涅耳比;HSS为小尺度滤波函数[1,25],

为强调光束缓变的自然特性,去掉(22)式中指数函数内的第一项,并且考虑几何光学近似有[1]:

将Elamassie海洋湍流功率谱(1)式代入(21)式中,并考虑(23)式,短期光束扩展W2ST可表述为

其中,

将(26)式中的AT换成AS和ATS可分别得到ϕ和ψ的表达式.

为校验本文推导结果(25)式的正确性,图6给出了短期光束扩展的半解析式(25)与积分式(21)随传输距离L的变化曲线,计算参数为λ =0.532µm,η=1 mm,α =2.6×10−4l/deg和W0=0.1 m.图6表明:短期光束扩展的半解析式(25)与积分式(21)的数值结果完全一致.此外,由图6可知:短期光束扩展随涡流扩散率dr而变化,海水稳定分层与否(dr=1与dr=1),光束短期光束扩展差异很大.

图6 短期光束扩展随L的变化 (a)准直光束;(b)聚焦光束Fig.6.Short-term beam spreadingvs L:(a)Collimated beam;(b)focused beam.

4 结 论

2000年,Nikishov等建立的海洋湍流功率谱模型中假设了海水有着稳定的分层.但是,受风和大气热交换的影响,实际海水通常不是稳定分层的,盐度引起海水密度变化的贡献与温度的贡献一般是不相等的,即涡流扩散率并非始终为1,而应是关于涡流热扩散率和盐扩散率的函数,体现出温、盐度变化对海水密度分层的影响.2017年,Elamassie等提出新的海洋湍流功率谱模型考虑了这一实际情况,该模型更为合理.本文基于Elamassie等的海洋湍流功率谱模型,重新推导出了海洋湍流中光波结构函数、光波空间相干长度和Fried参数的解析公式,并校验了所得解析公式的正确性.研究发现:采用Elamassie海洋湍流功率谱模型与采用Nikishov海洋湍流功率谱模型所得结果差异很大.当温度变化引起的光学湍流占主导地位时,Nikishov海洋湍流功率谱模型把湍流强度低估了;当盐度变化引起的光学湍流占主导地位时,Nikishov海洋湍流功率谱模型把湍流强度高估了.并且,按照Elamassie海洋湍流功率谱模型推导出的波结构函数在惯性范围内依然满足Kolmogorov三分之五定律以及Fried参数与光波空间相干长度间依然满足2.1倍关系,这与大气湍流中的结果一致.此外,本文基于Elamassie海洋湍流功率谱模型,推导出了准直和聚焦高斯光束短期光束扩展的半解析公式,并验证了其正确性.研究还表明:海水稳定分层与否,短期光束扩展差异很大.本文研究结果对水下湍流环境中的光通信、成像和传感等应用具有重要意义.