代红军 孔德宏

（云南师范大学 云南昆明 650500）

一、柯西不等式内容

二、柯西不等式的二次函数证法

所以把上列n个不等式相加得

当b1=b2=… =bn=0时，已经研究。

∴f(x)是关于x的一元二次函数，∴f(x)=0方程判别式△≤0

下面研究（1）式取等号的情形

若（1）式取等号，则△=0，于是由（3）知方程f(x)=0有两个相等的实数根，即x=k,代入（2）得

所以从两方面证明了柯西不等式，在高考和数学竞赛中，柯西不等式主要解决最值问题、取得最值时满足的条件及推到其他重要的不等式。

柯西不等式应用特点：①构造两组数，即两组数对应乘积的完全平方不大于这两组数平方和之积，由于这点柯西不等式的地位就凸显出来了，可以培养和考察学生的创造性思维，与新课程标准相适应，所以柯西不等式依然在高中教材中以向量的方式出现。②从柯西不等式的二次函数证法发现，其实在初中阶段，可以有意识地讲解柯西不等式的内容，学生也能接受。所以全国初中数学联赛与全国高中数学联赛都在考查柯西不等式，柯西不等式可以拓展初中的知识视野。

三、柯西不等式的运用

证法一：（常用证法）

把上面n个不等式相加，得

证法二：（柯西不等式证法）

分析要证明的不等式左边，不难发现需要构造两组数；构造怎样的两组数？从已知条件和要证明不等式右边已经暗示，需要构造：

由柯西不等式（1）有

小结：对照两种证法，不难发现证法二，思考简洁，善于入手；证法一需要分析不等式的内部结构，不容易寻找。

分析：上不等式可写为