陈鑫妍 华中师范大学第一附属中学

一、引言

在社会经济飞速发展的背景下，数学被广泛应用于各个领域中。而函数是数学的基础, 在实际生活中，很多经济问题都可归结为函数问题[1]，通过建立相应的函数关系,把问题转化为数学模型，然后应用相应的数学理论来解决经济实际问题。由此可见,在经济生活中,处处离不开函数知识,函数与经济分析紧密相连。下面就函数在经济生活方面的应用做一些探析。

二、函数知识在经济生活中的应用实例

（一）分段函数的应用

分段函数是一类常见的函数，此类函数蕴含着分类讨论的数学思想。日常生活中的很多问题，例如水电费阶梯计费、的士费按里程阶段计价等都涉及到分类讨论的问题，从而分段函数成为解决此类问题常用的数学模型。

案例1：优惠活动问题

随着社会发展，消费成为拉动经济发展的三驾马车之一。很多消费者购物都会货比三家，针对这样消费心理，商家经常开展各种促销活动。但是到底参与哪个方案买东西划算，这就要利用分段函数[2]来计算并判断。

例如：某淘宝网店实行优惠活动，规定一次购物付款总额：如果不超过300元，不予优惠；如果超过300元，但不超过500元，则按标价给予9折优惠；如果超过500元，500内部分按9折优惠第实施，超过500元部分给予8折。某人两次购物，分别付款232元和466元。假设他只去购物一次，上述同样商品，则应付款多少元？

问题分析：设未参加优惠活动前所有付款总数为x元，参加活动后应付款额为y元。

当0≤x≤300时，应付款额y=x；

当300＜x≤500时, 应付款额y=0.9x；

当500＜x时，应付款额y=500＊0.9+(x-500)＊0.8；

故得分段函数：

此人分开付款参加活动的话，总付款y=232+466=698元。

而根据分段函数公式可知，第二次付款的466是打8折后的价格，代入第三段则可求出未打折前的价格x=520。

则如果一次性付款，则总数x=232+520=752时，所以根据分段函数，参加活动后应付款额是y=651.6，比分次付款节约46.4元。可见利用分段函数提前分析规划的话就能省下不少钱。

案例2：个人所得税问题

纳税是每个公民应尽的义务，但近来某演艺界人士被爆偷税漏税丑闻，并罚以巨款，此事提醒公民一定要依法办事。税法规定，公民个人所得超过一定数额时，要依法缴纳。那么个人如何计算自己的纳税额度？按照税法建立一个简单的分段函数就能算出纳税额度。

例如：新的《个人所得税法》规定，公民每月薪金所得不超过5000元的部分不必纳税，超过5000元的部分为全月应纳税所得额。全月应纳税所得额不超过3000元的部分，所纳税率为3%；超过3000元至12000元的部分，所纳税率为10%；超过12000元至25000元的部分，所纳税率为20%。

（1）若三位纳税人每月薪金分别为4900元、9600元、19800元，则应缴纳个人所得税分别为多少？

（2）若某纳税人缴纳个人得税为150元，则此纳税人每月薪金为多少？

问题分析：设纳税人每月薪金为x元，应缴纳个人所得税为y元

当x≤5000时，y=0；

当5000＜x≤8000时，y=(x-5000)＊3%；

当8000＜x≤17000时，y=3000＊3%+(x-8000)＊10%；

当17000＜x≤30000时，y=3000＊3%+9000＊10%+(x-17000)＊20%；

故得分段函数：

则纳税人每月薪金为x=4900元，应缴纳个人所得税为y=0元；纳税人每月薪金为x=9600元，应缴纳个人所得税为y=0.1＊9600-710=250元；纳税人每月薪金为x=19800元，应缴纳个人所得税为y=0.2＊19800-2410=1550元。

当某纳税人应缴纳个人所得税为150元时，由分段函数看出第二段的最高缴税额为90元，第三段的最高缴税额为990元，则此纳税人每月薪金应在8000元至17000元之间，为（150+710）/0.1=8600元。

（二）指数函数的应用

指数函数是极具意义的数学工具，与生活中的实际问题有着非常广泛的联系。诸如细胞分裂、辐射衰减、银行复利等问题都是涉及指数函数的例子。

案例3：存款利率问题

日常生活中，人们习惯于将富余资金进行投资理财，利息的计算中将会用到指数函数模型。

例如：假设存入的本金为10000元，每年的理财收益利率为20%。那么25年后的本利和是多少?

问题分析：按复利计算收益，本金为a元，每年的利率为r，设本利和为y，存期为x年，建立一个指数函数关系式：

将相应的数据代入该关系式就可得到25年后本利和y≈237万。可见，若每年坚持投资1万元，理财收益利率为20%时，25年之后将成为百万富翁。因此，爱因斯坦说过，复利的威力比原子弹还可怕。

案例4：人口爆炸问题

人口问题是当今世界各国普遍关注的问题，认识人口的数量变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据。

例如：表1是1950-1959年我国的人口数据资料。那么在大约1950年后68年（既2018年）我国人口数为多少？

表1 是1950-1959年我国的人口数据资料

问题分析：根据英国经济学家马尔萨斯模型[3]，自然状态下的人口增长模型：y = y0ert。t指经过的时间，y0指t=0时的人口数，r 指人口的平均增长率。

令y0=55196，则我国在1950-1959年期间的人口增长率约为r=0.022，依公式可得亿人口。

由此可见，改革开放初，如果不实行计划生育，而让人口自然增长，今天我国将面临难以承受的人口压力。当然计划生育政策也显现其负面效应，年轻人口数量减少，老年人所占比例增加，我国的人口年龄结构已经呈现出了显著的老龄化特征。

（三）函数最值的应用

在生活中经常出现追求利润最大、耗材最少、效率最高等现象，此类问题从数学角度上来看，就是求取函数的最大值，最小值问题，而利用函数求导即可解决此类问题[4]。

案例5：利润最大问题

例如：某网店销售甲、乙两种商品，若初始投入 x 万元资金，可分别获利 M 万元和 N万元。若已知所投资金与获利的关系式为，那么，今欲投资 10万元销售甲、乙两种商品，如何分配在甲、乙两种商品的投入资金，能使该网店获利最大？ 能获得多大利润？

问题分析：该问题是二次函数最值的应用问题，同样是按照题意写出相关变量的函数表达式，然后可运用导数求最值。设投资x万元给甲商品，则（10-x）万元给乙种商品，所能获得总利润为y万元，则根据题意得，，问题转化为求该函数的最大值。

令y′=0，得：，则x=7.75。

此x为函数在定义区间内的唯一驻点，所以x=7.75是函数的极值点，故甲商品投资7.75万元，乙商品投资2.25万元，此时所获最大利润为3.06万元。

案例6：最佳存、贷款利息问题

在经济生活中，存、贷款利息问题，是最常见的问题。如何存款、贷款，才能收到最好的效益，这是一个最值问题，其间离不开函数求导的应用[5]。

例如：某理财公司，准备推出某种理财业务，假设吸引投资人获得的存款量与存款利息成正比，理财公司贷款投资的收益率为20%。那么存款利息定为多少时，理财公司才能收到最大的贷款纯收益?

问题分析：设存款总额为s，存款利率为x，则由题意吸引的存款总额s与x成正比，既s=ax(a 是正常数)。由于所有存款s都会被贷出以获得收益，故设贷款总额也为s，则理财公司的贷款收益为：0.2s=0.2ax。

而这笔贷款 s要付给投资人的利息为 xs=ax2

从而理财公司的投资纯收益为F(x)：

F(x)= 贷款收益-付给存户的利息=0.2ax-ax2

x为函数在定义区间内的唯一驻点，所以x=0.1是F（x）的最大值点。故当存款利率为10%时，可创最高投资纯收益。

三、小结

数学知识在经济领域有着广阔的应用舞台，利用函数知识建立模型来解决实际问题很多时候特别有效。其能在日益变化的经济生活中，科学描述和客观分析经济现象中因素与变量的关系，使得复杂的经济现象变得简单、清晰,为经济分析带来更加有效的计算方法，使经济决策更加科学化，进而促进社会的可持续发展。