潘红飞

（淮阴师范学院 数学科学学院, 江苏 淮安 223300）

1 引言

近世代数[1,2,3]是数学高年级本科生和研究生的基础课,由于其课程的抽象性,学生刚接触时很难有一个比较直观的或生动的理解.在教学过程中,我们也很容易忽视相关理论的来源,而是从定义出发来推理相关的命题和定理,这就少了课程学习的趣味性,对学生的学习主动性的提高不利.本文我们围绕群论这一教学内容中一些不太复杂的例子来加深同学们对群的理解.

2 群的定义

群的等价定义有很多,本文我们给出如下的定义.

定义1称非空集合G为一个群,若在G中定义了一个二元代数运算（称为乘法）：

且满足如下三条

（1）结合律：

（2）单位元存在律：

（3）逆元存在律：

教材里可以找到一些简单的例子用此定义来验证一个集合是否是群.如整数关于加法成群,非零有理数关于乘法成群,同阶可逆矩阵关于乘法成群.接下来我们再给出几个例子来认识一下这个抽象群的内涵.

3 对称与群

对称在我们生活中普遍存在,如中国京剧净角脸谱,阴阳太极图,故宫俯视图.下面用群来描述平面图形中的对称,先给出如下两个定义.

定义2对称变换：平面图形经过平面刚体变换（保持平面任意两点距离不变的变换）后与原来的图形重合.

定义3反射变换：平面图形围绕对称轴旋转180度后与原来的图形重合.

由上面两个定义我们可以非常直观的描述平面图形的对称变换只有如下四种：

（1）恒等变换.

（2）1个反射变换.

可以发现,用群来描述对称变换,是简洁明了的.

例1正四边形的对称变换描述.

解：正四边形的四种对称变换个数分别为：恒等变换1个,反射变换4个,旋转变换3个.从而正四面体的对称变换对应于8阶二面体群这是4次对称群的一个真子群.

4 整系数分式线性变换

复变函数[4]的第七章或复分析[5]的第14章中,分式线性变换（也称Mobius变换）为：

在边界为圆弧或直线的区域变换中很有作用.因为有

所以有理数域上的分式线性变换可以化为整系数分式线性变换.而整系数分式线性变换关于函数复合成群,其复合运算是繁琐的,可用群PGL（2,Q）与其乘法来代替,这样显得简洁明了.

例2考虑所有的整系数分式线性变换集合

其中，Z是整数集.

这里分式复合运算的计算比较繁琐,考虑对应

注2、群PGL（2,Q）中的元素有无穷多个,但是PGL（2,Q）的有限阶子群只有9个：

1，C1，C2，C3，C4，D4，D6，D8，D12.

5 有限域上的低维线性群PSL（2,3）

低维线性群之间有很多生动的群同构的例子,我们以PSL（2,3）为例来说明.

例3、考察PSL（2,3）.

其中

从而可以写出群PSL（2,3）的12个元为

6 结语

由于抽象性,近世代数这门课程不像高等数学中用数形结合思想来帮助学生理解知识内容的特点,需要我们围绕知识结构采取多形式的授课方式.针对课程特点,不同的知识结构需要不同的理解方式,鼓励学生用自己的思维去接受知识,理解知识,改造知识,从而达到思维逻辑的训练和适应更高的知识挑战.