王磊 王成功

在解决直线和圆的问题时，大家的解题思路往往受到方程思想的禁锢，只会一味地设方程、列方程（组）来解决问题，导致有些问题解决起来既繁又杂，甚至做不出来，本文将介绍一类直线与圆中的定点问题，挖掘隐含定点，另辟蹊径，即可轻松解决.

一、定点与参数范围

例1 已知直线l：kx-y+1+2k=0（k∈R）不过第四象限，求k的取值范围.

阅读完题干，大部分同学很困惑，不知从哪下手解决问题，对参数进行讨论是很多同学可能会想到的一个途径，但是讨论分类的依据是什么？往哪方面去讨论都没有明确的方向.

此时，如果我们结合问题——求k的取值范围，把已知直线方程的k提取公因式，不难发现，方程可化为k（x+2）-y+l=0，不难发现，直线必过定点（-2，1），因此直线不过第四象限，通过图象易得，直线在y上的截距必须大于等于l.

解 因为直线kx-y+1+2k=0（k∈R）可化为k（x+2）-y+l=0，必过点（-2，1），所以直线不过第四象限，所以2k+l≥1，k≥0.

本题如果不挖掘隐含的定点问题，虽然也能通过设出方程，分别求出两坐标轴上的交点来解决，但是计算量比较大也容易导致错误.

二、定点决定位置关系

例2直线l：（1+3m）x+（3-2m）y+4m-17=0与圆x²+y²+2x-6y-15=0 的交点个数是_______.

对于本题同学们拿到手就有不少思路，思路一：求出圆心到直线的距离，再比较距离和圆半径的大小关系进行判断;思路二：联立方程组，利用判别式判断方程组的解的个数.

这两种思路显然都可以解决本题，但是第一种做法距离含有参数，第二种解二元二次方程组计算量太大，显然这两种方法都不简洁.

当……