李 均,彭建文,刘学文

(重庆师范大学数学科学学院,重庆 401331)

1 引言

凸性条件无论是在数学还是经济、工程以及管理科学等领域,都起着至关重要的作用.然而现实生活中大部分的实际问题却难以满足凸性假设,因此广义凸性的研究就显得尤为必要.1999年,Youness在文献[1]中给出了如下的E-凸集、E-凸函数的概念.

定义1.1[1]称M ⊂X 为E-凸集,如果存在映射E:X →X,∀t∈[0,1]满足

定义1.2[1]称f:X→R为集合M⊂X上的E-凸函数,如果存在映射E:X→X,使得M 为E-凸集,且∀t∈[0,1]有

注1.1如果没有特别说明,本文假设X 代表赋范线性空间,X∗为其对偶空间,集合M ⊂X 均为开集.为了写作方便,本文中将E(x)都简写为Ex.当E=I(单位映射)时,定义1.1、定义1.2分别退化为文献[2]中凸集、凸函数的定义.

Youness在文献[1]中对E-凸函数性质进行了初步探索,Yang[3]和Chen[4]举例说明了文献[1]中定理4.2、定理4.3、定理4.6是错误的.最近,Youness在文献[5]中研究了如下带不等式约束的E-凸规划数学模型,简记为(COP)E:

其中f,gi:X →R(i=1,2,···,m)都是X 上的E-凸函数.

在文献[5]中,Youness给出了多目标E-凸规划问题有效解的性质刻画.众所周知,在凸优化问题的研究中,次微分是一种重要的研究工具,Rockafellar在文献[6]中给出了凸函数次梯度的定义.

定义1.3[6]称ξ∈X∗为凸函数f:X→R在x∈X 处的次梯度,如果

f在x处的次梯度的全体称为f在x处的次微分,记为∂f(x).

注1.2根据定义1.3,对任意y∈X,显然有

李成林等人在文献[7]中,利用Clarke的思想给出了E-凸函数E-次微分的定义及其等价刻画.

定义1.4[7]若M 是X中的E-凸集,f:M→R且x∈M∩dom(f),称ξ∈X∗是f在Ex处的E-次梯度,如果存在ε>0,η>0,使得∀Ey∈B(Ex,η)⊂M,有

f在Ex处的E-次梯度的全体称为f在Ex处的E-次微分,记为∂Ef(Ex).

定理1.1[7]若f是E-凸集M ⊂X 上的E-凸函数,则∀x……