陈 通，黄 楷

（华中科技大学自动化学院图像信息处理与智能控制教育部重点实验室，湖北武汉 430074）

0 引言

随着电子信息技术的不断发展，人们的日常生活中出现各种各样的电子产品。对各类电子产品进行无线充电也成了现代社会新的需求。无线能量传输技术源起于19世纪末著名科学家尼古拉特斯拉的一项远距离无线充电实验，从此便一直是热门研究方向[1]。

2007年，美国麻省理工学院（MIT）的研究人员在《Science》杂志上提出一种新型的无线能量传输技术——磁谐振耦合式无线能量传输[2]。该文献中研究人员利用磁谐振耦合无线能量传输系统成功点亮了2 m外一盏60W的灯泡，能量传输效率高达40%。近年来，研究人员对磁谐振耦合无线能量传输技术的传输效率、功率等方面做了很多的深入研究，但对于能量传输距离与自谐振线圈尺寸之间关系的研究还尚不清晰。本文作者通过电路理论分析及互感计算经验公式建立一个系统最佳传输距离与线圈尺寸之间的数学模型，并通过HFSS软件仿真及网络分析仪实际测量对该数学模型进行了验证。

1 磁谐振耦合WPT系统建模与分析

图1 磁谐振耦合无线能量传输系统的结构模型

磁谐振耦合无线能量传输系统的结构模型如图1所示，主要由4个部分组成：驱动线圈、发射线圈、接收线圈、负载线圈。当驱动线圈回路被射频功率放大器激励时，会产生振荡磁场来激发发射线圈，而发射线圈可看做是一个高品质因数的LCR谐振器。发射线圈将从驱动线圈得到的功率以谐振耦合的方式传给接收线圈，负载线圈则通过电磁感应的方式从接收线圈中接收能量并给负载供电。驱动线圈与负载线圈为单匝线圈，发射线圈与接收线圈为多匝线圈[3-4]。

图1中磁谐振耦合WPT系统的等效电路模型如图2所示。由于任何不相邻线圈之间的耦合太弱，不会影响电路，只考虑3对线圈之间的互感，简化了模型。其中，Coil1表示驱动线圈、Coil2表示发射线圈、Coil3表示接收线圈、Coil4表示负载线圈。VS表示激励源，ZS为源端内阻， RL为负载阻抗。 Li(i=1，2，3，4)为线圈i的电感 ， Ci(i=1，2，3，4) 为 线 圈 i的 分 布 电 容 ，Ri(i=1，2，3，4)为线圈i的电阻。 Ii(i=1，2，3，4)为线圈i中电流。Mij(i，j=1，2，3，4，i≠j)为线圈i与线圈i之间互感，相应的耦合系数可由式（1）定义：

图2 磁谐振耦合WPT系统等效电路模型

通过基尔霍夫电压定律可以列写图2中等效电路的KVL方程，其矩阵表示为：

其中Zi(i=1，2，3，4)为线圈i的等效阻抗，其值为：

通过式（2）中的4个KVL方程可以推导出负载端电压VL与源端电压VS之比：

一般来说，磁谐振耦合系统可视为一个二端口网络，激励源作为输入端，负载作为输出端。对一个二端口网络而言，其传输效率可以用散射参数（S21）来表示，S21为二端口网络的正向传输系数。由文献[5-6]可以得到图2中等效电路模型的S21参数可通过下式进行计算：

实验所用线圈为16匝平面螺旋线圈，文中平面螺旋线圈线径为0.15 cm、线间距为0.15 cm、线圈内径为0.2 cm。利用阻抗分析仪可以测量线圈相关参数如表1所示。

表1 四线圈系统各线圈参数

利用表1中电路参数，结合式（4）、（5）可得S21与耦合系数k23及工作频率 f之间的关系，如图3所示。

图3 正向传输系数S21与ω及k23之间关系图

从图3中可以看到，随着k23的增加，系统会分别处于欠耦合状态、临界耦合状态及过耦合状态。欠耦合状态下，系统的传输效率在谐振频率处随着距离的增加会急剧下降。过耦合状态下，系统会产生频率分裂现象，系统在两个新的谐振频率处都具有较高频率。在临界耦合状态时，系统拥有较高传输效率且不会产生频率分裂。在过耦合状态下系统需要不断调谐才能保证系统拥有高传输效率，因此在实际条件下临界耦合状态为系统的最佳工作状态，此时的k23为临界耦合系数，所对应的传输距离为系统的最佳传输距离。

根据式（4）、（5），可以通过求偏导计算出临界耦合系数表达式：

即当k23=k23c且工作频率为线圈谐振频率时，系统拥有最佳工作条件，此时发射线圈与接收线圈间距为系统最佳传输距离。

2 最佳传输距离与线圈尺寸关系模型

PCB（Printed Circuit Board）线圈又称印刷螺旋线圈。它具有准确性高、稳定性好、易于设计和制造等优点，并且容易和其他电路连接。基于这些优点，本文作者采用PCB线圈作为无线能量传输系统的谐振线圈。线圈间的互感不仅仅可以通过式（1）进行计算，也可以根据其几何结构参数进行计算。对印刷螺旋线圈而言，文献[7-8]介绍了一种两平面螺旋线圈间互感计算方式，它将平面螺旋线圈等效同心圆形线圈，通过较为简单的单匝线圈互感计算公式计算各匝线圈之间的互感，然后进行求和计算，得到平面螺旋线圈之间的互感。一般情况下，发射线圈和接收线圈被设为具有相同的结构，其互感表达式为：

其中：N为线圈匝数，ri、rj分别为第i匝和第j匝线圈半径，d为两线圈间距， μ0为真空磁导率。

通过印刷螺旋线圈结构参数也可以对其电感、电阻进行计算，分别如式（9）、（10）：

其中：rc为线圈平均半径（内径与外径平均值），a为线径，σ为线圈材料的电导率，S为线圈横截面积。

结合式（6）、（7），可以得到一个如式（11）所示的关于d和N的方程，即系统最佳传输距离与自谐振线圈匝数之间的方程式。

在印刷螺旋线圈中，通常通过改变线圈匝数来改变线圈的半径，线圈匝数与线圈半径有如下关系：

其中：rin为线圈内径，w为线间距，a为线径。

因此式（11）也可看做系统最佳传输距离与自谐振线圈半径之间的关系式。式（11）中R、L参数可以通过式（9）、（10）代入计算。式（11）是一个难以直接解析的方程式，可以通过Mathematica软件对该方程式进行求解。相关参数如表2所示。

表2 PCB螺旋线圈参数

分别取平面螺旋线圈匝数N为12、14、16、18、20，即线圈半径r分别为5.6 cm、6.5 cm、7.4 cm、8.3 cm、9.2 cm。计算得到线圈半径与系统最佳传输距离之间关系如图4所示。

图4 系统最佳传输距离与线圈半径关系

从图4中可以看出线圈半径与系统最佳传输距离之间呈正比关系。线圈尺寸越大，系统最佳传输距离越远。

3 仿真与实验

为了验证式（12）中数学模型的准确性，本文作者利用高频电磁场仿真软件High Frequency Structure Simulator（HFSS）分别对不同半径的平面螺旋线圈构成的磁耦合谐振无线能量传输系统在不同的传输距离下进行仿真，得到系统最佳传输距离。结合实际，文中平面螺旋线圈线径为0.15 cm、线间距为0.15 cm、线圈内径为0.2 cm。发射线圈与接收线圈间变化范围为2～20 cm，距离变化步长设为0.25 cm。扫频范围是10～40 MHz，得到系统在不同传输距离下的频率特性曲线，当系统频率特性曲线从双峰曲线转变为单峰曲线时的传输距离即为系统最佳传输距离。分别选取N为12、14、16、18、20匝的线圈构成磁耦合谐振WPT系统，重复进行以上操作，得到各系统最佳传输距离如图4所示。仿真结果与计算结果误差分别为8.73%、7.05%、7.3%、4.2%、3.68%，可认为仿真结果与理论计算值大致相等。

不仅通过仿真，本文作者也采取实际测量的方法来验证式线圈半径与最佳传输距离数学模型的准确性。分别按HFSS仿真模型制作了5种尺寸的平面螺旋线圈，搭建如图5所示的实验平台。通过测量该系统在不同传输距离的S21参数来确定系统临界耦合距离，即在扫频条件下S21参数曲线图从双峰变为单峰时发射线圈与接收线圈间距离即为系统临界耦合距离。所使用实验仪器为ROHDE&SCHWAR手持式网络分析仪，实验结果如图4所示。实际测量结果与计算结果误差分别为10.7%、7.69%、7.1%、6%、5.7%，充分说明了本文作者所提出线圈半径与最佳传输距离数学模型的可用性。该方法可以较准确的应用于磁耦合谐振无线能量传输系统中自谐振线圈的设计。

图5 无线能量传输实验装置图

4 结论

本文作者提出一种平面螺旋线圈构成的磁耦合谐振无线能量传输系统中最佳传输距离与线圈尺寸之间的数学模型。通过电路理论对系统等效电路模型分析得出当发射线圈与接收线圈间耦合系数为临界耦合系数时系统拥有最大传输效率。利用系统临界耦合系数表达式和线圈互感计算经验公式构建系统最佳传输距离与线圈半径之间的数学方程。并通过有限元仿真及实验测量数据对这一数学模型进行验证，确定这一数学模型的准确性。虽然目前的工作仅限于平面螺旋线圈系统，但这一方法却可以应用于其它结果线圈（如螺线管线圈）的磁耦合谐振无线能量传输系统。这种方法对于一定传输距离下磁耦合谐振无线能量传输系统中自谐振线圈的设计提供了极为重要的理论依据。