余 宁，阮 毅，麦丽菊

（广东省机械研究所，广东广州 510635）

0 引言

谐波齿轮传动装置具有体积小、承载能力大、传动精度高等优点，被广泛应用于航空航天、机器人等诸多领域。双圆弧齿廓同普通的齿形相比，不仅可以增加齿轮的啮合对数，而且还可以有效地改善普通齿轮啮合时易产生尖点和干涉的情况，从而进一步提高谐波传动装置的啮合性能［1-3］。本文作者以双圆弧齿廓谐波传动为研究对象，对谐波传动装置中的柔轮结构进行设计，并且利用MATLAB软件对与之啮合的刚轮的齿形进行设计[4]。

1 柔轮齿形设计

以设计减速比为i=80，模数m=0.3，输入转矩为72 N·m的谐波减速器为例，求解谐波减速器的柔轮和刚轮齿形参数。由谐波减速器传动比的公式可得，柔轮齿数为Z1=160，刚轮齿数为Z2=162。

1.1 齿高和啮合深度

根据啮合情况，柔轮理论齿高h=2m与标准渐开线圆柱齿轮相同，但其啮合深度却不同，其啮合深度hd1为(1 . 2～1.3) m。柔轮与刚轮全齿高不等于啮合深度，因此柔轮的全齿高可在一定范围波动，同时齿根高hf可比齿顶高ha略大，以预留啮合间隙Ca及增大齿根弯曲强度[5]。最后双圆弧谐波齿轮柔轮全齿高可初定为(1.8～2.2)m，柔轮齿顶高 ha可以取为(0.7～1.0)m，齿根高hf为(1.1～1.5)m，齿顶间隙Ca为(0.2～0.35)m。

1.2 啮合角

在双圆弧齿廓中，柔轮与刚轮的相对运动轨迹不受齿廓形式的影响，压力角的大小只影响齿轮的受力情况和齿轮强度，因此根据谐波传动的特点，谐波传动圆弧齿廓的压力角α0一般取25°。

1.3 齿廓圆弧半径差

齿廓圆弧半径差Δρ会影响传动灵敏度，数值应根据齿轮的制造及装配精度还有齿轮模数来确定。若半径差Δρ太小，则会灵敏反应各个位置的变化，使误差变大；若Δρ太大，则会导致齿轮跑和缓慢。对于小模数的软齿面双圆弧齿轮，齿廓圆弧半径差Δρ常取[6]：

1.4 齿厚比

齿厚比K是节圆上齿槽宽度Sf与齿厚Sa的比值，即K=Sf/Sa。齿厚比的大小主要影响双圆弧轮齿的弯曲强度，根据经验一般取K为1.1～1.3。

1.5 柔轮齿廓圆弧半径

在压力角不变的情况下，齿廓圆弧半径ρ减小，力的作用点离危险截面更近，齿根弯曲疲劳强度增强；反之，齿面接触疲劳强度提高。因而对于软齿面双圆弧齿轮，通常取柔轮凸齿廓圆弧半径 ρa=（1.15～1.5）m。而柔轮凸齿廓圆弧半径ρf根据齿廓圆弧半径差Δρ与ρa关系取值。

根据上述参数选择原则，确定本设计柔轮齿廓参数如表1所示。

表1 柔轮轮齿齿廓参数

1.6 非齿廓参数

由于柔轮的非齿廓参数并不是设计的重点，所以直接给出其参数值如表2所示。

表2 柔轮非齿廓尺寸参数

图1 柔轮齿廓参数

计算得出柔轮凸齿圆心偏移量Xa和la：

根据两圆心连线交于点B，得凹齿圆心偏移量：

2 共轭刚轮齿廓设计

共轭刚轮齿廓参数主要通过分析柔轮变形情况，得出变形量的变化函数式，之后运用包络法得到参数间的变量关系，最后采用数值法解变量方程组得到[7-9]。

2.1 齿廓分析的前提假设

谐波传动的两个定律如下：

（1）谐波传动的转速比只与相互运动的两条特征曲线的周长有关，而与其形状无关。

（2）共轭齿廓在啮合过程中的运动情况是由所选用的齿形和运动时的特征曲线共同决定的。

谐波齿轮传动计算中的几点假设如下：

（1）刚轮和柔轮两共轭特征曲线SR和SG，在波发生器装入柔轮后发生变形，但柔轮特征曲线总周长不变，即变形前后SR周长不变，只是形状发生变化。

（2）假设传动过程中齿形不发生变化，但是齿槽中部发生变化。

（3）假设中线呈规律性变化。

（4）柔轮每个轮齿的对称线都与特征曲线SR的切线相垂直，而且每个轮齿所对应的特征曲线SR的弧长都对应相等。

在上述假设的基础上，将轮齿去除后的柔轮、刚轮的曲线分别成为柔轮、刚轮的特征曲线SR、SG，如图2所示。

图2 谐波传动柔轮与刚轮特征曲线啮合示意图

2.2 柔轮与刚轮共轭过程理论分析

2.2.1 建立坐标系

为了说明柔轮与刚轮的共轭过程，建立描绘柔轮特征曲线SR的极坐标SR(ρR,φR)、描绘刚轮特征曲线SG的极坐标SG(ρG,φG)、描绘共轭齿廓的3个直角坐标系CR(xR,yR)、CG(xG,yG)、C0(x0,y0)。并设定这些坐标系初始位置是极轴ρR(0)、 ρG(0)，纵坐标yR、yG、y0全部重合，如图3所示。

图3 坐标系示意图

（1）极坐标SR(ρR,φR)：坐标原点为柔轮特征曲线SR的中心，即波发生器的回转中心上，极轴为ρR波发生器的长轴。

（2）极坐标SG(ρG,φG)：坐标原点为柔轮特征曲线SG的中心，即刚轮的回转中心，极轴ρG为纵线（铅垂线）。

（3）直角坐标系CR(xR,yR)：坐标原点定于柔轮特征曲线上，纵轴yR是柔轮轮齿齿廓的对称线，其坐标原点是轮齿的对称线与特征曲线的交点。

（4）直角坐标系CG(xG,yG)：坐标原点定于刚轮特征曲线上，纵轴是刚轮轮齿齿廓对称线，坐标原点与谐波传动装置的回转中心重合。

（5）直角坐标系C0(x0,y0)：固定基础坐标系，纵轴为铅垂线，原点与谐波传动装置的回转中心重合。

2.2.2 建立微分方程组

将柔轮齿廓转化为极坐标方程：

式中：R1为柔轮齿廓圆弧半径 ρa，xc1为横坐标偏移量-la，yc1为纵坐标偏移量Xa，θ1为柔轮凸齿廓半径所对应的角度。

刚轮特征曲线方程SG：ρG=rG

柔轮特征曲线方程SR： ρR=rR+ω0cos2φ

式中：φ为柔轮非变形端的转角，ω0为柔轮径向变形量系数，rG和rR为刚轮和柔轮的半径。

使用包络法求刚轮齿廓，各参数表达式如下：

柔轮特征曲线SR对应弧长的中心角：

刚轮特征曲线SG对应弧长的中心角：

刚轮固定时，相应特征曲线SR、SG对应弧对应的中心角之差：

刚轮固定时，相应CR、CG两坐标夹角：

式中，μ为柔轮对称轴线相对于径矢转过的角度，ω为柔轮的径向变形量。

由变换矩阵得：

最终得到：

式中φ与参数θ间的关系以隐函数的方式给出，它们的关系不能用初等函数表达，求解刚轮理论齿廓需要采用数值法。

2.3 刚轮齿廓求解

由于刚轮齿廓变量中φ与θ只能用数值法求解，计算过程单一但计算量大，因而使用Matlab编程计算，该程序也可作为通用的刚轮共轭齿廓求解程序。

数值法求解流程如下：

（1）设定θ的范围，将其离散化成N个点，每个点都有一个对应的解；

（2）当θ为第n个点时，根据包络方程关系式，运用二分法不断缩小解的范围；

（3）当解的范围小于设定范围后，认为该范围中点值即为该次θ的解；

（4）重复上述步骤得到一系列的θ解；

（5）最后根据θ与其他变量的关系得到刚轮齿廓参数。

由上述刚轮共轭齿廓求解，编写MATLAB程序，并将数据代入程序中，得到刚轮双圆弧齿廓中两个圆弧曲线的圆心和半径参数，用数值法得到的一系列的数据点通过拟合得到的效果图如图4所示。由图4可以看出，采用该方法获得的刚轮齿廓曲线连续性非常好。

圆弧1圆心和半径（单位：mm）：

圆弧2圆心和半径（单位：mm）：

Xc=1.067 9 Yc=37.171 0 Rc=0.762 8

图4 刚轮齿廓曲线拟合图

3 结论

分析双圆弧齿在谐波传动中啮合时的优越性，对柔轮的特征曲线求解，得到其特征曲线的方程。在确定柔轮齿形的基础上，通过建立坐标系，根据共扼原理，进行坐标变换，求出与柔轮齿相啮合的刚轮齿的方程。通过MATLAB软件进行编程，在将原始数据输入到程序中，求解出刚轮齿形上的点，然后进行拟合，最后得出相应的刚轮齿廓曲线。