林革

丢番图（约246～330），古希腊著名数学家，他对代数学的发展起到了极其重要的奠基作用，被誉为“古代代数之父”。希腊数学自毕达哥拉斯学派后，研究的主流在于几何论证，甚至一切代数问题都被纳入了几何的模式之中。直到丢番图，才把代数真正从几何的羁绊中解放出来，成为一门独立的学科。

别出心裁的墓碑题

对于丢番图的生平，人们知之甚少。唯一的简历是从《希腊诗文集》中所得。这本由古希腊语法学家麦特罗尔所辑的著作中，记录有46首和代数问题有关的短诗，其中就包括数学爱好者津津乐道的“丢番图的墓碑题”。由于《希腊诗文集》是公元500年前后的遗物，加上史学家对一些学者书信著作中相关信息的研判，大致可以推断出丢番图生活于246～330年。

这道有趣的墓碑题，用诗歌的形式巧妙、含蓄地叙述了丢番图的一生：过路的人啊！这里埋葬着丢番图，请计算下列数目，便可知他一生经过了多少个寒暑。他生命的16是幸福的童年；又过了一生的112，他的两颊长出了细细的胡须；再过了一生的17，他结婚建立了幸福的家庭；婚后5年有了可爱的儿子，可惜儿子的寿命只有父亲的一半；晚年丧子真是可怜，儿子死后，老人在悲痛中度过4年就与世长辞。请你算一算，丢番图活到几岁，才与死神见面？

要想知道丢番图活到多大岁数，就得解答这则数学谜语。用现代数学的思路分析解答并不困难，常规策略仍是按量率对应的分数应用题，或假设未知数的方程思路解答，具体步骤不作赘述，留给有兴趣的读者探究。在此仅介绍一种另辟蹊径、别具一格的当代巧解。

题目中提到，“丢番图生命的16是幸福的童年”“又过了生命的112”和“再过了一生的17”，由此可知，丢番图的年龄既是6的倍数，又是12的倍数，还是7的倍数，因为12的倍数自然就是6的倍数，这就说明，丢番图的年龄是12和7的公倍数，即可能是84、168、252……根据生活常识，人的寿命目前不可能达到168岁乃至252岁……因此，满足要求的只有一种可能，即丢番图活到了84岁。

不难看出，这种解题技巧极为简洁实用，迅速摒弃了无关信息，一下子抓住题目的关键，运用简单的数学知识和生活经验，方便快捷地解决了问题。当然，考虑到古希腊的数学背景和基础，无论常规思路还是巧妙策略都无从谈起，因此，这道别出心裁的“墓碑题”被作为难题记录和传播并不足为奇。

代数学和《算术》

丢番图对代数学的发展起到了极其重要的作用，他所撰写的《算术》就是一部划时代的著作，在数学史上的地位可与《几何原本》相提并论，他本人因而获得“古代代数学之父”的美誉。其中的数学观对后来的数论学者影响巨大，以其名命名的“丢番图方程”（不定方程），至今仍是数论研究的重大课题。《算术》这本著作讨论了一次、二次以及个别的三次方程，还有大量的不定方程。现在对于具有整数系数的不定方程，如果只考虑其整数解，这类方程就叫作丢番图方程，它是数论的一个分支。不过丢番图并不要求解答是整数，而只要求是正有理数。

从另一个角度看，《算术》一书也可以归入代数学的范围。代数学区别于其他学科的最大特点是引入了未知数，并对未知数加以运算。就引入未知数、创设未知数的符号以及建立方程的思想（虽然未有现代方程的形式）这几方面来看，丢番图的《算术》完全可以算得上是代数学。

《算术》共有13卷，但15世纪发现的希腊文本仅有6卷。1973年，人们在伊朗境内的马什哈德又发现了4卷阿拉伯文的，这样一来，现存的《算术》只有10卷，共收集了290个有趣的问题。每道题都有出人意料的巧妙解法，这些解法开动人的脑筋，启迪人的智慧，以至后人把这类题目叫作丢番图问题。

美中不足的是，在五花八门、精彩纷呈的解题方法中，丢番图没有着力探究一般性的解法或解法之间的关联。

《算术》具有东方色彩，用纯分析的角度处理数论问题。这是希腊算术与代数的最高途径。它传到欧洲的時间较晚。16世纪，胥兰德翻译出版了拉丁文《算术》。其后，巴歇出版了经他校订的希腊文-拉丁文对照本，这使得费马走向近代数论之路，他在这个本子上写了许多批注，包括著名的费马大定理。

希腊数学自毕达哥拉斯学派后，兴趣中心在几何，他们认为只有经过几何论证的命题才是可靠的。为了逻辑上的严密性，代数也披上了几何的外衣。一切代数问题，甚至简单的一次方程的求解，也都被纳入了几何的模式之中。直到丢番图出现，才把代数解放出来，完全脱离了几何的限制。丢番图认为，代数方法比几何的演绎陈述更适宜于解决问题，因而在解题过程中显示出高度的巧思和独创性，在希腊数学中独树一帜。

独具匠心的假设

丢番图对算术理论有着深入和独特的研究，以解题技巧高超著称。下面介绍的就是丢番图巧妙解题的一则小故事。

丢番图有一位得意门生名叫帕普斯，他从很小的时候起就跟随丢番图学习数学。一天，帕普斯遇到一个难题：有4个数，把其中每3个数相加，其和分别为20、22、24和27，求这4个数。

这个问题看起来简单，解答起来却比较繁琐。因为题中有4个未知数，按照通常列方程解应用题的方法，必须设出4个未知数，列出4个方程，得到一个4元一次方程组，然后再解方程组。

于是他设4个数分别为x、y、g、t，则依题意得方程组（如左图），可在具体求解时他被这个方程组搞得昏头昏脑，陷在算式的沼泽里无法自拔。在当时相对落后的文化背景和数学工具的限制下，帕普斯束手无策也在情理之中。无奈之下，他只得向老师请教，询问能否用简便的方法解答这个问题。丢番图看后笑着回答：“行啊！行啊！”随即给出了一个极为简单的解法。

丢番图也是假设未知数列方程解答，只是他的设法出人意料、一反常规，不去详细分设4个未知数，而是假设这4个未知数之和为x。于是，这4个数就分别为x减去其余3个数之和，即分别为x-20、x-22、x-24和x-27。由此可列方程：（x-20）+（x-22）+（x-24）+（x-27）=x解得：x=31，最终得出这4个数分别为11、9、7和4。

老师的解答让帕普斯茅塞顿开，心悦臣服的他从此坚定了毕生从事数学研究的决心，并最终成为一位著名的数学家。

从上面的故事不难看出，丢番图的解答巧妙之处在于，他没有纠缠在常规思路中，而是采用变通思维进行处理，这充分体现了丢番图作为数学家善于打破思维定势的能力。

巧思妙解和发现

由此不难发现，丢番图拥有过人的数学眼光和高深的数学造诣。

意义深远的贡献

丢番图一直推崇并认为代数方法比几何的演绎陈述更适宜解决问题，在解答过程中更能显示出数学智慧和机巧。比如（a+b）2=a2+2ab+b2在欧几里得的《几何原本》中是一条重要的几何定理，而在丢番图的《算术》中只是简单代数运算法则的必然结果，因此，充分体现丢番图数学思想的《算术》几乎就是纯粹的代数著作。代数由此自成体系，这也是丢番图对人类文明做出的巨大贡献。

根据符号使用的情况，代数学可以分为三类：文词代数（完全用文字来叙述而不用符号）、简字代数以及符号代数（除个别地方，一切全用符号表示）。丢番图构建了代数学的雏形，也创设了一些符号，而问题的叙述仍然主要采用文字，和现代的符号代数相去甚远，可算是较为原始的简字代数。

丢番图所处理的问题大部分是多元的，但他只设一个未知数，相当于现在的x，遇到多个未知数时仍用同一符号，而和x2、x3、x4、x5等相当的各次幂，又都有专门的名称和符号，这使得其计算过程非常繁琐晦涩。为了避免混淆，人们不得不运用高度的技巧，这常常使方法失去普遍性。但不可否認，丢番图创设符号仍是代数学的一大进步。

除此之外，丢番图的思想和发现对后世数学家研究数论影响深远。比如前面提到4个数中“任何两数之积再加上1，竟然仍是一个分数的平方”，虽然丢番图给出了答案，但有关这个问题的研讨和探索并没有结束。有数学家对此提出延伸设想：“存不存在4个整数也具有类似的性质呢？”因为在人们的思维定势中，在整数范围内讨论探究似乎更有必要。基于这样的思路，17世纪法国数学家费马最终发现：整数1、3、8和120也具有上述特性，即其中任两数的乘积加上1都是完全平方数。1×3+1=4=22，1×8+1=9=32，1×120+1=121=112，3×8+1=25=52，3×120+1=361=192，8×120+1=961=312，结论验证起来毫不费力，但要在浩瀚的数海中寻找并确定这几个数，绝非易事。这个无独有偶的圆满结局，也印证了“提出一个问题有时比解决一个问题更重要”的深刻性。

尽管丢番图谜一般的生平模糊不清，但他对数学的贡献毋庸置疑，“古代代数之父”的地位不可动摇。对于这位古希腊杰出的数学家，我们理应心怀敬意，铭记于心。