江苏省淮安外国语学校八（1717）班 夏 熠

【背景资料】勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，也是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，还是数形结合的纽带之一.

【定理用途】已知直角三角形两边求解第三边，或者已知三角形的三边长度，证明该三角形为直角三角形或用来证明该三角形内两边垂直.利用勾股定理求线段长度是勾股定理的最基本运用.

典型例题：

【例1】（2016·株洲）如图1，以直角三角形a、b、c为边，向外作等边三角形、半圆、等腰直角三角形和正方形.上述四种情况的面积关系满足S1+S2=S3的图形个数有（ ）.

图1

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

【心路历程】第一个图形中，首先根据等边三角形的面积的求法，表示出3个三角形的面积然后根据a2+b2=c2，可得S1+S2=S3.其余图形也都是先表示出阴影部分的面积，再顺利得出S1+S2=S3.故正确答案选D.

此题考查了等腰直角三角形、等边三角形、圆以及正方形的面积的求法，我们要熟练掌握.解题的关键是要明确：在任何一个直角三角形中，两条直角边的平方和一定等于斜边的平方.应该说此题属于长相恐怖、解答清晰的类型，同学们应该都能答对吧？

典型例题：

【例2】（2016·绥化）如图2，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点E，∠DAB=∠CDB=90°，∠ABD=45°，∠DCA=30°，

图2

【心路历程】过A作AF⊥BD，交BD于点F.由三角形ABD为等腰直角三角形，利用三线合一得到AF为中线，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出AF的长.在直角三角形AEF中，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半列方程求出AE的长，即AE=2.

【学法归纳】1.勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中.

2.在不规则的几何图形中，通常通过添加辅助线得到直角三角形.

3.在应用勾股定理解决实际问题时，勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出数学模型，画出准确的示意图.

教师点评：

应用勾股定理的前提，必须有直角三角形，没有直角，那真如小作者所说的——没戏了.可实际中，很多时候题中没有直接给出直角三角形，我们必须先构造出适当的直角三角形，从而为建立三边关系起到桥梁纽带作用.