甘志国

全日制普通高级中学教科书（必修）《数学·第一册（下）》（2006年人民教育出版社）第46页的第15，17题分别是：

（l）已知α+β+γ=nπ（”∈Z），求证：tanα +tanβ +tanγ）=tan α tanβtanγ.（提示：在等式α+β=nπ-γ），两边同时取正切.）

（2）求证：tan（x-y）+tan（y-z） +tan（z-x）=tan（x-y）tan（y-z） tan（z-x）.

在题（1）中可令α=x-y，β=y-z，γ=z -x，n=O，便得题（2）成立.由此可见，题（1）是一个有用的结论.不过，在使用题（1）这个结论时，要注意tanα，tanβ，tanγ），均要有意义.

由题（1）还可得下面的结论：

定理 在不是直角三角形的△ABC中，有tan A+tan B+tan C=tan Atan B tan C.

该定理也即普通高中课程标准实验教科书《数学4.必修.B版》（人民教育出版社）第154页“巩固与提高”的第7题.

所有的考题都是源于教材的，自主招生试题也不例外.但好的考题会对教材知识重新整合、综合、拓展、加工，形成“源于课本，高于课本”的创新程度高的考题，

这四道题都源于课本上的一道典型基础题f该题结论的一个伴随结论用途也很广：在△ABC中，∑tanA/2tanB/2=1，但它们在难度、知识考查上还有差异：

题1题干简洁但解法灵活、技巧性强.解题的策略有二：一是用换元法变多元函数为一元函数，再求最值；二是用均值不等式求多元函数最值.

题2常规基础，但要使用小学生经常使用的“在比例分配中设一份是K”的小技巧，若忽视了这一点，难以顺利解答本题，

题3難度大，题中使用了竞赛知识高斯函数符号且不作说明（体现了部分自主招生试题的竞赛性质），解题的切人点就是使用两边夹法则化不等式为等式，再由不等式取等号的条件得出三个等式，增加了已知条件；而后是解不定方程，要使用大部分考生都感到陌生的知识放缩技巧、减元思想、整数性质（因数、倍数）来求解.

题4不难但高于高考，要求考生能熟练使用和差化积、积化和差公式（而这八个公式记不住的考生很多，原因是高考不用）.而高考中不会用到它们吗？按高考要求，不用它们也能解答相应的高考题，这八个公式均是课本上的例题或习题，整体记忆是容易的，很多考题，用它们两三步即可简洁求解，不用它们须七八步才能求解，这说明我们的学习要扎实、巩固，对待自主招生更是如此.本题还有陷阱：角的取值范围容易弄错，导致答案不全或漏掉.