毛北行,乔宗敏

(1.郑州航空工业管理学院 理学院,河南 郑州 450015;2.合肥师范学院 数学与统计学院，安徽 合肥 230601 )

学者们抽象出很多动力学模型并加以研究，得到很多结果[1-4]，但很少有人对幸福模型进行研究.文献[5]研究了爱情的幸福模型，该模型对人们的心理治疗、处世方法有一定的积极作用.幸福不是简单的标量，它包括快乐、高兴、兴奋、宁静、知足、圆满及满意度等[6-7].文献[8] 基于特征值方法研究了幸福的动力学模型.文献[9]基于Routh-Hurwitz判据，研究了受驱动非线性幸福模型的动力学解析问题.但以上文献都没有考虑外加激励的影响，事实上，遭遇一个外来事件的激励后，情绪会有多种响应表现，或者产生深度混沌(超混沌)，可能表现为忘乎所以、歇斯底里；或者原来不安的情绪(混沌)被镇定，突然安静下来；或者保持原来(混沌)的状态，外来事件对他毫无影响.这说明事件的突然发生，另一外来事件的出现，会导致人们不同的反应.论文考虑外加激励的影响，研究一类具有外加激励的整数阶幸福模型的有限时间稳定性问题，以及分数阶幸福模型的稳定性问题，并进一步研究了幸福模型的混沌同步问题.基于Lyapunov稳定性理论和分数阶微积分的相关理论，得到了系统有限时间稳定、渐近稳定以及取得同步的充分性条件，仿真结果表明了方法的可行性.

1 主要结果

文献[5]研究了罗密欧与朱丽叶彼此相爱的时间振荡关系，爱情R的动力学模型为

这是表征罗密欧的爱情及他感到幸福的动力学模型，β为阻尼衰减率，ω为自然谐振频率.

以下考虑有外部激励u(t)的幸福模型

(1)

由假设1，由

定义1[10]Caputo分数阶导数定义为

考虑分数阶幸福模型

(2)

假设2 ‖x1‖≤‖x2‖.

定理2在假设2下，若设计外部激励u(t)=(β-ε)x2-(1+ω2)x1，ε>0 ，则上述系统(2)是渐近稳定的.

证明根据假设2，由引理1，有

考虑整数阶幸福模型

(3)

定理3在假设3下，若设计外部激励

解该微分不等式，很容易得到结论.

考虑分数阶幸福模型

(4)

假设4 ‖x1‖≤‖x2‖≤‖x3‖.

证明根据假设2，有

受外界事件的驱动，幸福模型能够产生混沌、超混沌、周期等特性.以下着手研究在混沌状态下幸福模型的混沌同步问题.

考虑幸福混沌模型

(5)

以系统(5)作为驱动系统，将响应系统设计为

(6)

定义系统误差e(t)=y(t)-x(t) ，(6)式减去(5)式得到误差系统

(7)

根据假设1，有

考虑分数阶幸福混沌模型

(8)

以上述系统为驱动系统，设计响应系统为

(9)

定义系统误差ei(t)=yi(t)-xi(t),i=1,2 ，(9)式减去(8)式得到误差系统

(10)

假设6 ‖e1‖≤‖e2‖.

定理6在假设6下，若设计控制器u(t)=(β-ε)e2-(1+ω2)e1，ε>0 ，则系统(8)与(9)是混沌同步的.

证明根据假设6，由引理1，有

很容易得到J<0.

考虑如下整数阶幸福混沌模型

(11)

以上述系统为驱动系统，设计响应系统为

(12)

定义系统误差e(t)=y(t)-x(t) ，(12)式减去(11)式得到误差系统

(13)

定理7在假设7下，若设计控制器

则系统(11)与(12)是有限时间混沌同步的，其中

解该微分不等式，很容易得到结论.

考虑分数阶幸福混沌模型

(14)

以上述系统为驱动系统，设计响应系统为

(15)

定义系统误差ei(t)=yi(t)-xi(t),i=1,2,3 ，(15)式减去(14)式得到误差系统

(16)

假设8 ‖e1‖≤‖e2‖≤‖e3‖.

证明根据假设8，有

2 结束语

研究一类幸福模型稳定性问题及其混沌同步问题，基于Lyapunov稳定性理论和分数阶微积分理论，得到系统有限时间稳定及渐近稳定以及混沌同步的充分性条件.研究表明：一定条件下，该模型渐近稳定；一定条件下，系统取得混沌同步.