北京市第十二中学高中部(100071) 刘 刚

1、试题

题目(2017年全国高中数学联赛新疆初赛)已知椭圆的离心率为,椭圆短轴的上下两个端点分别为A,B.以A为圆心,椭圆长半轴长为半径的圆与椭圆交于C,D两点,CD的中点的纵坐标为.

(I)求椭圆的方程;

(II)直线l过椭圆的右焦点F且不垂直于x轴,l与椭圆交于M,N两点,设点N关于x轴的对称点为N′,问直线MN′是否经过定点?若经过定点,求出这个定点;否则,说明理由.

试题考查了椭圆的标准方程、几何性质以及坐标法的应用,考查了学生运算求解以及分析问题与解决问题的能力.试题(II)问解法灵活,内涵丰富,是一道具有研究性学习价值的好题.

2、解法探究

解得c=1,所以,所以椭圆的方程为.

(II)思路1以M,N为研究对象,先设出它们的坐标以及直线l的方程,然后结合已知条件表示出直线MN′的方程,令y=0,接下来通过消元并借助韦达定理进行求解.

解法1设M(x1,y1),N(x2,y2),则N′(x2,-y2).因为F(1,0),所以设l的方程为x=ty+1,与椭圆的方程联立,得(3t2+4)y2+6ty-9=0,所以

直线MN′的方程为,令y=0,得

将①代入上式,得x=4,所以直线MN′经过定点(4,0).

思路2以M,N′为研究对象,先设出它们的坐标以及直线MN′的方程,然后与椭圆方程进行联立,利用M,F,N三点共线得到坐标之间的关系,接下来通过消元并借助韦达定理进行求解.

解法2设M(x1,y1),N′(x2,y2),则N(x2,-y2).设直线MN′的方程为x=ty+m,与椭圆的方程联立,得,

因为M,F,N三点共线,所以,即,所以

将②代入上式,得

解得m=4,所以直线MN′经过定点(4,0).

思路3由于椭圆经过坐标伸缩变换可以变为圆,而圆有着很多几何性质,因此借助圆利用平面几何知识进行解决……