宁夏彭阳县第三中学(756599) 王伯龙

题目(2018年江苏省高考数学第13题)在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,∠ABC=120°,∠ABC的平分线交AC于D,且BD=1,则4a+c的最小值为___.

这是一道考查解三角形与最值的综合题,试题涉及到三角形中定角及定角的平分线,边长之间关系的最值问题.试题设置新颖、寓意深刻、情境熟悉、情态鲜活、解法多样,采用“以能力立意”的命题思想,注重新旧知识的交汇,着力考查知识和技能的应用能力和迁移潜质,是一道值得研究的好题.

1.试题的解法研究

著名数学家、教育家G·波利亚说：“掌握数学就意味着善于解题.”单墫先生也说过：“学数学的目的,不是别的,就是为了学会解题.”因此,用什么方法能顺利解答问题是最务实的,是数学素养和综合能力的体现.上等方法简洁明快,手到“病”除,而中、下等方法耗时费力,甚至陷入误区.武向义先生说：“教数学要交给学生‘大巧’,要教学生‘运用之妙,存乎一心’,以不变应万变.”可见,不同的方法展现不同的数学思维水平.这正是体现高考试题的选拔功能.

解法1(面积法)因为S△ABC=S△ABD+S△BCD,所以,即.于是9,当且仅当,即c=2a时取等号,故4a+c的最小值为9.

解法2(向量法)因为BD是∠ABC的平分线,所以可设,两边分别与自身作数量积并化简整理得,以下同法1,故当c=2a时,4a+c的最小值为9.

图1

解法3(坐标法)如图1,以B为原点,BD所在的直线为x轴建立平面直角坐标系,易得D(1,0)、,由于A、D、C三点共线,因而有,即,化简得ac=a+c,以下同法1,故当c=2a时,4a+c的最小值为9.

解法4(张角定理法)由张角定理得

以下同法1,故当c=2a时,4a+c的最小值为9.

注……