广东省东莞市第八高级中学(523620) 林茂发

经典的函数导数试题,总是给人以启迪,或给人以思考,散发着其独特的魅力,研究高考题自然就成为我们教学研究的一个常规工作!纵观2018年高考新课标I卷,试卷结构与去年一致,整体难度有所降低,函数导数部分约占14.67%.近几年的全国卷中与导数相关的解答题得分率并不高,笔者以2018年高考全国I卷理科数学第21题为例(下面简称“试题”),通过对本题的解析,探讨函数导数蕴含的教育价值,谈谈导数部分的复习思路,期望能对2019年高考复习有所帮助.

1.“试题”再现

例1(2018年高考数学全国卷理科第21题)已知函数.

(1)讨论f(x)的单调性;

(2)若f(x)存在两个极值点x1,x2,证明：.

导数在高考中有着重要的作用,它信息量大、综合能力强、灵活度高,能比较全面的考查学生的核心素养.本题以函数为背景,主要考查了学生的数学运算、数学抽象、逻辑推理等能力,体现了分类讨论、数形结合、函数与方程、转化等思想方法.

2.“试题”的探究

2.1 分类讨论和数形结合的数学思想方法

本题是对数函数与反比例函数的组合,考查了带参数的函数单调性判断、函数的极值和零点、不等式证明构造等问题.直接求导解决第(1)问,由于导函数中含有参数a,可能要进行分类讨论.这是在解答前的思考,解题过程中还会遇到新的困难,需要较强的分析能力和解决问题的能力.

解(I)f(x)的定义域为(0,+∞),且.对于二元一次方程,Δ=a2-4.

①当Δ＜0时,即-2＜a＜2时,-x2+ax-1=0无解,有x∈(0,+∞)时,f′(x)＜0,则f(x)在(0,+∞)上单调递减.

②当Δ=0时,即a=2或-2时,有x∈(0,+∞)时,f′(x)≤0,则……