浙江省杭州第二中学钱江校区(310053) 董泉发

2018年高考已经结束,笔者浏览了今年的8套试卷(不含文科),发现导数还是重头戏.今年除了北京和上海还是一以贯之地以数列压轴外,其他6份试卷全以导数压轴.北京卷导数题作为倒数第3题出现,上海卷没有考导数大题.纵观今年的导数大题,基本上都是考零点问题和极值点问题,实际上,极值点问题本质上还是零点问题,因为极值点是导函数的零点.零点问题和最值问题是高中代数(尤其是函数)的核心,因此高中代数(函数)部分复习重点应放在这两个问题上.今年的浙江卷和全国I卷都考了极值点偏移,其中浙江卷考的是类极值点偏移问题和函数零点与方程根的问题,北京卷和全国III卷都不约而同地考了极值问题,其背景涉及到极值的充分条件,这在高中数学中不讲,在大学数学分析中提到.全国II卷考的是零点问题,江苏卷和天津卷都考了函数零点和方程根的问题,江苏卷压轴题是数列和导数综合,考的是恒成立问题.

下面笔者对今年7套试卷中的导数大题逐一分析,不当之处,望同行批评指正.

题目1(2018年高考全国卷I理科数学第21题)已知函数

(1)略;(2)若f(x)存在两个极值点x1,x2,证明：.

思路简析(2)f(x)的定义域为.易知当a≤2时,f(x)单调递减,故f(x)存在两个极值点当且仅当a＞2.由于f(x)的两个极值点x1,x2满足x2-ax+1=0,所以x1x2=1,不妨设0＜.由于,所以等价于.构造函数,易知g(x)在(1,+∞)单调递减,又g(1)=0,从而当x∈(1,+∞)时,g(x)＜0.

题目2(2018年高考浙江卷第22题)已知函数.

(I)若f(x)在处导数相……