赵玉伟， 王国胜， 韩 超， 额尔敦朝鲁

(河北科技师范学院 凝聚态物理研究所， 河北 秦皇岛 066004)

1 引 言

半导体量子点由于其重要的科学研究价值而正在成为量子信息、量子功能器件研究中的一个热点领域[1-4]。然而，随着技术的进步，在本领域仍有一些有价值的课题亟待探讨。首先，关于量子点存在厚度的问题：不难看出，人们对量子点的理论研究工作中，大多都未能考虑量子点的厚度所带来的影响，其结果无疑是比较粗糙的。其次，关于量子点束缚势的描写：在许多研究中，单参量抛物势被用来描述量子点中电子的束缚势[5-8]。然而，抛物势既没有有限的深度也没有范围可言，是一种过于简化的模型，不能很好地反映真实的束缚势。一些实验结果建议真实的束缚势应是非抛物形的阱状势[9]，如密度矩阵势或非对称三角势[10]、高斯势阱[11]等，其中高斯势阱是一个很好的近似，它平滑并具有有限的势垒和有限的宽度。Adamowski等[12]研究了在假想高斯势阱束缚下的两电子量子点系统，并讨论了它的抛物近似。Xie[13]计算了高斯势阱中两电子量子点的能谱。谷娟等[9]利用数值矩阵对角化的方法计算了高斯势束缚下施主中心量子点系统能谱并讨论其特性。但这些工作均未考虑介质的极化效应。再次，关于极化效应对电子态的影响：当计及量子点厚度时，由于强量子受限效应的存在，使得极化效应表现得更为明显[14-15]，毫无疑问，量子点厚度引起的介质的极化效应对量子点中电子态的影响不可忽视。

最近，Xiao[16]研究了RbCl反对称高斯势量子阱量子比特的电场效应，Khordad等[17]研究了反对称高斯势量子阱中束缚极化子基态和寿命的温度依赖性。本文在计及量子点厚度和氢化杂质束缚情形下，分别选取简谐势和高斯势描写盘型量子点中电子的横向束缚势和纵向束缚势，采用Pekar类型变分法研究了电子在外电场作用下的量子跃迁问题。本文的结果将有助于探索调控量子点的输运特性和光学性质的途径和方法。

2 模型与Pekar类型变分计算

考虑一个处于盘状量子点中并与介质的体纵光学声子场相互作用的电子。建立直角坐标系，盘的中心轴线在Oz轴上，盘的底面处于垂直于Oz轴的x-y平面上，施加沿z轴方向的电场F。采用抛物势

(1)

(2)

描写电子沿z轴方向的束缚势，其中V0表示高斯势的势垒高度且V0>0，L表示高斯势的束缚范围，亦称量子点的纵向受限长度或量子点的有效厚度。这样，电场中量子点内电子-LO声子相互作用体系的哈密顿量可以写为[16-17]

(3)

上式中各量的物理意义与文献[16]和[17]相同。

为利用变分法得到体系的能量和波函数，首先，将哈密顿量H右边写成两部分

H=H0+H′，

(4)

式中

(5)

H′=-e*zF，

(6)

然后，再讨论变分函数U-1H0U在|Φ〉态中的期待值问题，按照变分原理

(7)

这里

(8)

|Φ0〉=ψ0(ρ,z)|0ph〉，

(9)

|Φ1〉=ψ1(ρ,z)|0ph〉，

(10)

其中，λ0和λ1为变分参数，ψ0(ρ,z)和ψ1(ρ,z)分别表示电子的基态和第一激发态试探波函数，|0ph〉是声子的真空态，由bk|0ph〉=0确定。

将式(5)、(8)～(10)代入式(7)中，可分别确定变分参数fk(λ0)和fk(λ1)以及λ0和λ1。利用这些变分参数，并经过冗长的计算，分别得到极化子的基态能量E0和平均声子数N0以及第一激发态能量E1和平均声子数N1如下：

(11)

E1=lim〈Φ1|U-1H0U|Φ1〉=

(12)

(13)

(14)

(15)

3 结果与讨论

为了揭示电子的能量E、平均声子数N和跃迁几率Q随高斯势的势垒高度V0和束缚势范围L、电场强度F、电声耦合强度α、振荡周期t的变化规律，我们给出了数值结果，如图1～6所示。图中以rp为长度单位，以F0=ћωLO/(e*rp)为电场强度F的单位，以(ωLO)-1为振荡周期t的单位，以ћωLO为能量的单位。

图1 描写了基态和第一激发态极化子平均声子数N0和N1在高斯势不同势垒高度V0下随其范围L的变化。图1表明，在相同条件下，N0>N1，这一结果符合统计物理规律。由图1可以看出，在L的不同区域内N0和N1随L变化的形式有所不同：当L较大时，N0和N1随L的减小而单调增大。这是因为随着L(量子点的有效厚度)的减小，电声相互作用由于粒子纵向运动空间被压缩而增强，导致电子周围平均声子数增加。其次，当L较小时，N0和N1随L的减小而增大至一个最大值。这是一种量子现象，量子点的厚度越小，量子尺寸效应越加明显[14-15]。再次，N0和N1随L的减小而增大至一最大值后又迅速减小。这意味着当量子点的厚度很薄时，体纵光学(LO)声子效应不再占主导作用，此时应该考虑表面光学(SO)声子或界面光学(IO)声子效应[20]，这超出了本文的研究范围。由图1还可以看出，在L给定时，N0和N1随V0的增加而增大。这是因为约束势增大，意味着介质的极化增强，亦即电子周围平均声子数就越多。

图1 平均声子数N在高斯势不同势垒高度V0下随其范围L的变化

图2 表示了极化子的基态能量E0和第一激发态能量E1在高斯势不同势垒高度V0下随其范围L的变化。由图2可以看出，E0<0,E1<0且|E0|>|E1|，|E0|和|E1|随L的增加而增大，增大的幅度随L的增加而趋缓；同时，在给定L下，|E0|和|E1|随V0的增加而增大。这是由于高斯势函数V(z)=-V0exp[-z/(2L)]<0，而且，|V(z)|随L(或V0)的增加而增大所致。

图2 能量E在高斯势不同势垒高度V0下随其范围L的变化

图3 表示了电子的跃迁几率Q在不同耦合强度α下随抛物束缚势范围R0(量子点的横向半径)的变化。由图3可以看出，Q随R0的缩小而减小。这是因为随着束缚势范围的减小，电子在x-y平面内的受限增大，致使电子状态的稳定性提高而改变它的难度增大。由图3还可以看出，当R0较小(R0<2.0rp)时，Q随R0的减小而减小的幅度较大，当R0较大(R0>2.0rp)时，Q随R0的减小而减小的幅度较小。由图3还可以看出，在给定R0下，Q随α的增大而减小。这是因为α越大，意味着电声相互作用越强，致使电子周围声子平均数越多，电子的自陷越深，改变电子状态难度就越大。

图4 描述了跃迁几率Q在高斯束缚势不同势垒高度V0下随其范围L的变化。由图4可以看出，在L的不同区域内Q随L变化的形式有所不同：当L较大(L>1.3rp)时，Q随L的减小而单调减小，这一结果与图3所示的跃迁几率Q随抛物势范围R0的缩小而减小的规律相似；但是，当L较小(L<1.3rp)时，Q随L的减小而振荡较小。这是一种量子现象，因为按照量子理论，束缚势范围L越小，量子尺寸效应越明显。比较图4与图3，不难看出，图4给出的Q随L的变化规律，无论从量子力学理论看，还是从实验结果[9]的检验看，都比图3给出的跃迁几率Q随抛物势范围R0的变化规律更加合理和符合实际。不过，当束缚势范围(R0和L的取值)较大时，二者的变化规律趋于一致，这是因为当z/L≪1时，高斯势可以用抛物势来近似。总之，对量子点中束缚势下的电子态及其变化而言，不考虑量子点的厚度所带来的影响，其结果无疑是比较粗糙的；与此同时，高斯束缚势比抛物束缚势更能精确地反映量子点中真实的束缚势。由图4还可以看出，对于给定的L，跃迁几率Q随势垒高度V0的增加而减小。这是因为V(z)<0，因此，势垒高度V0越大，电子的能量越低，电子的状态就越稳定。

图3 跃迁几率Q在不同电声耦合强度α下随抛物势范围R0的变化

图4 跃迁几率Q在高斯势不同势垒高度V0下随其范围L的变化

图5 揭示了跃迁几率Q在不同电声耦合强度α下随电场强度F的变化。由图5可以看出，当F=0时，Q=0，这表明施加电场是电子态发生量子跃迁的必要条件。由图5还可以看出，Q随F的增大而振荡变化，其规律为：从F=0开始，Q随F的增大首先出现第一主极大和极小，然后依次出现Q的各级次极大和极小；第一主极大的峰值Qmax(对应的电场强度为Fm)和峰宽明显大于各级次极大的峰值和峰宽；而各级次极大的峰值和峰宽随F的增大而略微收窄。这些特性预示着电场对量子点的输运性质和光学性质具有较强的调控作用。由图5还可以看出，α对Q随电场强度F的增大而振荡变化的情形产生显著影响：随α的增大，Q-F曲线整体右移，第一主极大的峰值Qmax和峰宽随α的增大而增加，各级次极大的峰值随α的增大而减小，而其峰宽随α的增大而略微增加。由此可见，在研究量子点中电子态的变化时不能忽略声子(极化)效应的影响。

图6 表示了跃迁几率Q在不同电场强度F下随振荡周期t的变化。由图6可以看出，Q随t的变化而作周期性振荡。这是因为电子跃迁几率的时间演化规律由式(15)描写所致，从物理上讲，这是电子状态随时间的变化必须满足其波动方程的必然结果。由图6不难发现，Q随t作振荡变化的形式受到F的显著影响：振荡的幅度和频率均随电场强度F增大而增加(根据图4，增加或减小与F的取值范围有关)。F对Q-t曲线的上述影响的机理分析与图5的表述相同。

图5 跃迁几率Q在不同电声耦合强度α下随电场强度F的变化

图6 跃迁几率Q在不同电场强度F下随振荡周期t的变化

4 结 论

本文在计及量子点厚度下，分别选取抛物势和高斯势描写盘型量子点中电子的横向束缚势和纵向束缚势，采用Pekar类型变分法研究了电子在外电场作用下的量子跃迁。数值结果表明:(1)高斯束缚势比抛物束缚势更能精准反映量子点中电子真实的束缚势；(2)量子点的厚度对电子跃迁几率所带来的影响不仅重要，而且有趣并具有实际意义；(3)电子的跃迁几率Q对电声耦合强度α、电场强度F、非对称高斯势的势垒高度V0和范围L的变化都很敏感。本文的结果有助于进一步探讨利用这些物理量调控量子点的输运特性和光学性质的用途和方法。