吴政泽， 张小红， 焦以焜

（1.江西理工大学信息工程学院，江西 赣州 341000；2.南京邮电大学通达学院，江苏 扬州 225000）

0 引 言

20世纪50年代，英国生理学家霍奇金（Hodgkin）和赫胥黎（Huxley）在生物神经传导方面进行了深入而富有成果的实验，他们利用电压钳技术获得了巨大乌贼触突电生理活动的大量实验数据，建立了神经元薄膜激发的数学模型[1-3]，并给出了不同电压下的离子电流量化公式，即著名的Hodgkin-Huxley模型（简称HH模型）.该模型成功地再现和预测了某些动物神经纤维的电活动，理论分析与巨大乌贼触突中的脉冲传播基本吻合.两位科学家因在神经动作电位上的突出贡献，获得1963年的诺贝尔生理学或医学奖.

1971年，来自美国加州大学伯克利分校的华裔科学家蔡少棠教授（Leon O.Chua）在《Memristor-The missing circuitelement》[4]一文推导了电流 i、电压 v、电荷a和磁通φ这四个电学中的基本元素之间的关系，即已知电阻能通过电流i和电压v之间的关系来表达，电感能通过电流i和磁通φ之间的关系来表达，电容能通过电荷q和电压v之间的关系来表达.蔡少棠教授预测除了上述三种基本元器件之外，应该还有一种基本元器件，用来表示电荷q和磁通φ之间的关系，历史上首次提出了忆阻器的概念.忆阻器的理念提出后曾引起科学界高度关注，但由于现实中没有真实的材料用以实现忆阻器的特性，当时研究都只是集中在理论上，进展十分缓慢.直到2008年美国惠普（HP）实验室Strukov和同事用二氧化钛纳米薄膜，得到了一种具有记忆功能的非线性无源纳米双端实物[5]，其电路特性与蔡少棠教授预测的忆阻器特性相符，从而证实了忆阻现象在纳米尺度电子系统中的物理存在性.从此，忆阻器掀起了全球的研究热潮[6-9].

忆阻器应用于生物神经模拟研究是当前的一个研究热点，而Hodgkin-Huxley模型是量化描述电生理现象最成功的一个模型，开辟了从理论模型研究神经电特性的新思路[10-12].文中着重研究心脏Purkinje（浦肯野）纤维动力学模型特征，理论分析钾离子通道、钠离子通道迟滞环曲线忆阻特性的存在性，并对钾离子一阶忆阻、钠离子二阶忆阻器进行量化，设计出含忆阻器的Hodgkin-Huxley模型的心脏浦肯野纤维电路结构图.

1 心脏浦肯野（Purkinje）细胞纤维的结构

在动物神经组织中，心肌细胞与静息电位和活动电位（也称为跨膜电位）的变化有关.心肌细胞中含有丰富肌原纤维的工作细胞，它具有收缩功能，称为工作细胞，包括心房肌细胞和心室肌细胞.心肌细胞属于非自治细胞，不能产生活性，但具有兴奋性和传导能力.心脏神经中还具有产生节律性兴奋的能力被称为起搏器的细胞.

浦肯野（Purkinje）细胞就最早是在羊的心脏发现的，也称为束细胞，是一种特殊的心肌纤维，属心脏传导系统的组成成分，组成房室束及其分支，分布于心室的心内膜下层.浦肯野纤维窦房结细胞与浦肯野细胞组成了心内特殊传导系统，可自动产生节律性兴奋，又称自律细胞，它与窦房结相互交替作用，控制心房心室的收缩.浦肯野纤维是快反应细胞，它在自动去极化过程中通过钠离子增加和钾离子的衰减，对不同于窦房结细胞的实现去极化.图1为人体心脏结构，其中浦肯野纤维分布在心室内膜末端.

图1 人体心脏结构与浦肯野（Purkinje）纤维位置

2 心脏浦肯野纤维的Hodgkin-Huxley模型的数学描述

在心肌神经细胞中，浦肯野细胞膜充满电荷的金属离子浓度很大，大多数是钠离子（Na+）、钾离子（K+）和少量的氯离子（CL-）、细胞膜分离的液体含有不同浓度，这样产生电位差形成内部和外部的细胞间运动.细胞膜离子交换可以通过离子通道开闭操作来完成，Hodgkin和Huxley在获得了乌贼触突电生理活动的大量实验数据后，建立了神经元薄膜激发的数学模型，并给出了不同电压下的离子电流量化公式.

心脏浦肯野纤维薄膜总电流（Im）是由离子电流和流入薄膜容量的电流之和得出的，根据欧姆定律、法拉第定律和基尔霍夫定律，著名的Hodgkin-Huxley模型方程如下[13-14]：

公式（1）中，Im为外刺激电流，INa、IK、IAn分别为钠离子电流、钾离子电流和氯化物电流；Em为膜电位，Cm为跨膜电容，图2显示心脏Hodgkin-Huxley浦肯野纤维模型的基本RC（电阻与电容）电路[15].

图2 Hodgkin-Huxley浦肯野纤维模型的基本RC电路

图 2 中，ENa、EK、EAn分别为钠离子平衡电位、钾离子平衡电位、氯化物平衡电位.Cm为跨膜电容，gNa、gK1、gK2、gAn分别为钠离子通道电导、钾离子通道电导、氯化物离子通道电导，t为时间变量.其中

V定义为跨膜电压，m、h、n分别为钠离子激活变量、钠离子抑制变量和钾离子激活变量.它们由一阶偏微分方程组成：

公式（3）中所有数学表达式 am（V）、βm（V）、ah（V）、βh（V）、an（V）、βn（V）都是跨膜电压 V 的非负函数，定义为：

3 忆阻器的基本属性及特征

忆阻器具有体积小、存储量大、能耗低、有记忆和类似神经元突触等特点，在人工神经网络中还具有自主学习和权值可塑性质.忆阻器能 “记住”之前流经的电荷数量，这种工作原理与大脑有记忆功能的神经元非常相似.忆阻器的电阻值会随着流经的电流（电荷数量）而变化，而且该阻值在没有外界刺激下会保持不变，直到再次有外界电流流过.判定是否为忆阻器主要考察如下三方面属性[16-17]：

1）同一零点：对于任何周期忆阻器，假设电压v（t）或电流 i（t）全为正值或全为负值，其信号 v（t）或 i（t）对应的 i（t）-v（t）波形曲线必定同时穿过原点，参见图3.

图3 忆阻器中电压与电流波形

2）紧缩的磁滞回线：忆阻器磁滞回线的形状随着输入信号频率ω的变化而发生改变，并具有封闭斜“8”字外观.

3）频率极限化：当w→∞时，该轨迹逐步接近为一条直线，直线的斜率取决于输入电压v（t）或电流 i（t）的振幅和波形.图 4 为 i＝A sin（ωt），频率 ω取不同值时对应的 v（t）-i（t）磁滞回线，图 4 中的为振幅.

图4 取不同值时紧磁滞回线

4 Hodgkin-Huxley模型的心脏浦肯野纤维忆阻特性

4.1 钾离子的忆阻特性及一阶忆阻器R K设计

从图2的RC电路可以看出，钾离子由两个电导gK1和gK2组成，根据电流iK与电压vK的关系，将vK和iK符号表达式更改如下：

其中 GK为电导，单位为西门子（Siemens），且

结合图2对公式（1）符号进行如下变化：

从等式（2）可以看出，gK1只是跨膜电压V的指数函数，它一定不具有记忆电阻特性，而gK2是变量n的相关函数，可通过电流iK变化测试是否具有记忆器特性.

将电流选择为 i=A sin（ωt），其中 A 为振幅，ω为正弦波的频率.图5显示单独电导gK2的vK2-iK2曲线，从图5中可以明显看出vK2-iK2是通过零点的封闭的环形曲线，具有明显的忆阻器紧滞环特性.

图5 不同ω值的单个钾离子K 2项的v K2-i K2忆阻特性曲线

图6 是一条与gK1和gK2加在一起绘制的vK-iK曲线，同样电流选择 i=A sin（ωt），发现该曲线只有很弱的紧迟滞环存在.

图6 不同ω值的完整钾离子的v K-i K弱忆阻特性曲线

根据上述公式（7）定义的新符号，结合公式（3）和公式（4）变量微分方程定义，可得到：

其中，EK=-100mV.

由于公式（5）中GK只包含一个变量x1，所以钾离子电阻器RK被称为一阶忆阻器.在电路中如图7所示.

图7 钾离子一阶忆阻器R K示意图

4.2 钠离子的忆阻特性及二阶忆阻器设计

等式（2）中列出钠离子 gNa是由（m，h）两个变量的多项式组成的，根据电流iNa与电压vNa的关系，将vNa和iNa符号表达式更改如下：

其中 GNa为电导，单位为西门子（Siemens），且

结合图2对公式（1）符号进行如下变化：

图8是一条用不同频率绘制的VNa-iNa曲线，其中设定i=A sin（ωt），从图8可以发现钠离子中存在明显的磁滞回线，即显示出明显的记忆特性.

图8 不同值的钠离子的忆阻特性曲线

根据公式（11）定义的新符号，结合公式（3）和公式（4）变量微分方程定义，可得到：

其中ENa=40mV.

由于公式（9）中的GNa包含 x2和x3的两个变量，所以钾离子电阻器RNa称为二阶记忆器.在电路中如图9所示.

图9 钠离子二阶忆阻器R Na示意

4.3 Hodgkin-Huxley模型等效整合忆阻电路设计

将图2 Hodgkin-Huxley浦肯野纤维模型RC电路中的gK1和gK2位置用图7一阶忆阻器Rk替换gNa位置用图9二阶忆阻器RNa替换，建立包含一阶忆阻器Rk、二阶忆阻器RNa的忆阻Hodgkin-Huxley浦肯野纤维等效整合忆阻电路模型，如图10所示.

图10 包含一阶忆阻器R K和二阶忆阻器R Na的Hodgkin-Huxley浦肯野纤维忆阻电路模型

事实上，如果我们将钾离子电导严格按照忆阻特性来区分，则gK1仅可看作一个普通的电阻，gK2可以作为一个完整忆阻器来使用，则图10可再规划成图11所示电路图.

图11 一阶忆阻器R K进行细分后的Hodgkin-Huxley浦肯野纤维忆阻电路模型

5结 论

以心脏 Hodgkin-Huxley浦肯野 （Purkinje）纤维细胞模型为研究对象，发现钾离子通道和钠离子通道具有不同强度的忆阻特性，并规划出一阶钾离子忆阻器和二阶钠离子忆阻器的电路结构，在此基础上实现Hodgkin-Huxley模型等效整合忆阻电路设计.