■江苏省苏州市西安交通大学苏州附属中学 纪麟玉

同学们在解答一些经典题时，如果能进行多角度的思考和归纳，那么对于帮助我们开拓思路、积累解题经验是非常有效的。下面以一道经典考题为例，从多个角度进行思考与解答，现整理出来与同学们分享。

角度一、从方程角度思考

解法1：根据方程有解问题可转化为求值域问题，a的取值范围即是以x为自变量的函数的值域，不妨令y=a，以函数知识为背景，解法如下:

将函数转化为我们熟悉的初等函数，利用初等函数的相关性质解题。令，再令y1=x(2-x)，0≤x≤2，函数y1是二次函数，易得0≤y1≤1，所以2≤y2≤4。因为y＞0，所以2≤y≤2，所以a的取值范围是[2，2]。

解法2：通过导数工具来确定函数的单调性，从而求出值域。令y=f(x)=+得x=1，易得，当x∈[0，1]时，y'≥0;当x∈[1，2]时，y'≤0。故函数y在[0，1]上单调递增，在[1，2]上单调递减，所以当x=1时，y取最大值2。又因为f(0)=f(2)=，所以a的取值范围为[2，2]。

角度二、从不等式角度思考

解法3：利用均值不等式巧妙地将方程问题转化为不等式求最值问题。将a=≤2+[x+(2-x)]=4。又因为a2=2+，所以2≤a2≤4。因为a＞0，所以当x=0或x=2时，amin=2;当x=1时，amax=2，所以a的取值范围是[2，2]。

解法4：联想到柯西不等式，将a写成x·1+2-x·1的形式。由柯西不等式可得a2=(x·1+2-x·1)2≤[(x)2+(2-x)2](12+12)=4，当且仅当 x=2-x，即x=1时，取“=”，所以=4。又因为a＞0，所以amax=2，求最小值同解法3。

角度三、从三角函数角度思考

解法5：由x的有界性(x∈[0，2])联想到通过三角代换，借助三角函数的有界性求a的范围，解法如下:

角度四、从复数角度思考

解法7：令复数z=x+2-xi，x∈[0，2]，则|z|=2，设z的实部为m，虚部为n，从而可设m=2cosθ，n=2sinθ，0≤θ≤。所以a=m+n=2cosθ+2sinθ=

角度五、从向量角度思考

解法8：a=x·1+2-x·1，令p=(x， 2-x)，q=(1，1)，则 p =q =(设p与q的夹角为θ)，所以又点P(x，)在以坐标原点为圆心，2为半径的圆的四分之一圆弧上，所以0≤θ≤，所以≤cosθ≤1，2≤2cosθ≤2，所以a的取值范围是[2，2]。

角度六、从数列角度思考

角度七、从解析几何角度思考

解法10：令a=m+n，则m+n=2，0≤m≤2，设直线l的方程为 mx+n y=0，点A(1，1)到直线l的距离为d，则d=a=2d。直线l恒过原点，由数形结合可知，当O A⊥l时，d取最大值2;当l的斜率为0或不存在时，d取最小值1。所以a的取值范围是[2，2]。

上述十种解法是常见的双二次根式的处理方法，以不同知识内容为切入点，得出不同的解题方案。我们在高考复习中若能经常这样去挖掘总结，从不同的视角去探究解决问题的方案，领悟常规解法、简捷解法、创造性的解法，定能拓宽我们的解题思路，积累解题经验，提高我们的解题能力。