苏保明

证明线面平行是高考命题的重要内容之一，也是常考不衰的重要题型，深受命题专家的青睐，其原因是此类题错综复杂，能很好地考查考生的思维水平.本文根据初高中几何连接点的内在联系，从以下四个方面找线段的中点，进而顺利证明线面平行.

方法一：利用“对角线互相平分”找中点

例1 如图l，底面是正三角形的直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D是BC的中点，AA₁=AB=2.

（Ⅰ）证明：A₁C∥平面AB₁D.

（Ⅱ）（略）

（Ⅰ）证明：如图2，连接A₁B，交AB₁于点O，连接OD.

由于ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，所以四边形A₁B₁BA是矩形.故A₁O=OB（此结论用到了初中数学知识，即“矩形对角线互相平分”）.

由于BD=DC，所以OD是△A₁BC的中位线，可知OD//A₁C.又OD 平面AB₁D，A₁C 平面AB₁D，所以A₁C∥平面AB₁D.

小结 由于涉及矩形A₁B₁BA的对角线AB₁，联想到矩形A₁B₁BA的另一条对角线A₁B，所以连接A₁B，这样就可构造三角形的中位线，找到线线平行，从而顺利地证明线面平行.

值得注意的是，凡是涉及平行四边形、矩形、菱形、正方形的一条对角线，往往需要连接另一条对角线，这样可根据对角线互相平分找到边的中点.

方法二：利用“等腰三角形三线合一”找中点

例2 如图3，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是边长为a的正三角形，点M在边BC上，△AMC₁是以M为直角顶点的等腰直角三角形.

（Ⅰ）证明：直线A₁B∥平面AMC₁.

（Ⅱ）（略）

（Ⅰ）证明：如图4，连接A₁C，交AC₁于点N，连接MN.

由于ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，所以CC₁⊥平面ABC，四边形A₁C₁CA是矩形.又AM 平面ABC，所以CC₁⊥AM.由于AM⊥MC₁，CC₁ MC₁=C₁，CC₁ 平面BB₁C₁C，MC₁ 平面BB₁C₁C，所以AM⊥平面BB₁C₁C.又BC 平面BB₁C₁C，所以AM⊥BC.在△ABC中，由AB=AC，AM⊥BC，可知BM=MC（此结论用到了初中数学知识，即“等腰三角形三线合一”）.

由于点N是矩形A₁C₁CA的两条对角线的交点，所以A₁N=NC，则MN是△A₁BC的中位线，MN∥A₁B.又MN 平面AMC₁，A₁B 平面AMC₁，所以A₁B∥平面AMC₁.

小……