陈淑梅, 刘 月

(福州大学数学与计算机科学学院,福建 福州 350116)

0 引言

设z=a+ib是一个复数,其中a和b都是实数. 它的复符号,记作csgn(z),定义为

csgn(z)=sgn(a)+i·sgn(b)

其中: sgn(x)=1, -1或0分别对应于x>0,x<0或x=0. 一个复矩阵A的复符号模式,记作csgn(A),是把A中的每一个元素用相应的复符号替换后所得的矩阵. 与A具有相同复符号模式矩阵全体所构成的矩阵类称为A的复符号模式矩阵类,记作QC(A),即

QC(A)={B|csgn(B)=csgn(A)}

一个复矩阵称为复符号非异矩阵(简称CNS矩阵),若此矩阵的复符号模式可以保证矩阵是非奇异的,即QC(A)中所有矩阵均为非奇异.

复符号模式是符号模式(见文献[1])的一种复推广,由Eschenbach 等人在文献[2]中引入. 文献[3]定义了复符号模式矩阵的分裂变换. 利用分裂变换,在研究矩阵的复符号非异性时,可以局限在只含有{0, ±1, ±i}这五种元素的复符号模式矩阵中讨论. 若矩阵A的复符号模式csgn(A)中只含有{0, ±1, ±i}这五种元素,则称A为轴元阵. 本研究只讨论轴元阵.

除复符号模式推广外,还有一种复推广,称为ray模式推广(见文献[4]). 在ray模式推广中,非零复数z的ray定义为z/|z|,类似可以定义矩阵的ray模式ray(A)及ray模式矩阵类QR(A). 若A是轴元阵,根据定义易知ray(A)=csgn(A)且QR(A)=QC(A). 据此,轴元阵可以认为是复符号模式和ray模式的“交”.

复符号非异矩阵是符号非异矩阵(即SNS矩阵)的复推广,其中SNS矩阵是符号可解性理论中的核心研究对象(见文献[5]). 在ray模式推广下,相应的SNS矩阵的推广为ray非异矩阵(简称RNS矩阵). 由轴元矩阵的特殊性,当矩阵A是轴元阵时,A是CNS矩阵等价于A是RNS矩阵. 于是,关于RNS矩阵的所有结论在讨论轴元矩阵的CNS性时均可使用.

文献[6]中定义了一类结构简单的完全不可分矩阵,称为圈链矩阵. 该文同时利用一个特殊集合函数Φn(Θ)把圈链矩阵分为三类,分别为RNS圈链矩阵、反常圈链矩阵和禁用圈链矩……