邹长武, 张章学

(1. 福州大学数学与计算机科学学院,福建 福州 350116;2. 中国科学院信息工程研究所,中国科学院网络测评技术重点实验室,北京 100093)

0 引言

指数型二分性在常微分方程中应用广泛,最早由林振声[1]提出,后来在Copple等[2]的工作下,有了系统的发展. 随着研究的深入,除了常微分方程外,指数型二分性还在差分方程[4],时滞微分方程等方面有着广泛的应用[3-5]. 成为研究有界解、周期解、概周期解及其拓扑线性化的强有力的工具.

对于不同类型的方程,指数型二分性的定义一般有些区别. 即使对于相同的方程,也可能有不同的定义,而不同的指数型二分性定义又有所联系. 近年来,不同的指数型二分性条件之间的关系,引起了许多学者的关注. 例如,对于带有扩展类型分段常参数的微分方程 (DEPCAGs),x′(t)=A(t)x(t)+A0(t)x(γ(t))[6-8]和带有分段常参数的微分方程 (DEPCAs)x′(t)=A(t)x(t)+A0(t)x([t])[9,10]的指数型二分性各种不同定义之间的研究受到许多学者关注[11-12]. 对于DEPCAGs和DEPCAs指数型二分性的定义的不同,归结原因,是因为有些定义用连续微分方程指数型二分性的定义,而有些用差分方程的指数型二分性的定义,另一些用连续微分方程和差分方程指数型二分性的定义相结合的方法来定义. 所以有必要讨论最一般的连续微分方程和差分方程的指数型二分性的定义之间的联系.

1 主要结论

对于一般的线性微分方程

x′=A(t)x(t)

(1)

其中:x(t)是r维向量,A(t)是r阶方阵. 假设系统(1)的基本解矩阵为X(t), 则系统(1)在上满足指数型二分性[1]是指：存在常数K>0,α>0及其投……