王 虎， 王 轲， 赵丽茹

(南京航空航天大学振动工程研究所 南京，210016)

引 言

随机振动疲劳是指结构在受到随机动态、交变载荷作用下发生的疲劳破坏[1]。结构在使用过程中长期处于随机振动环境中，局部结构会出现严重的共振响应，由此引起的疲劳破坏是结构破坏的主要形式之一。因此，对随机动载荷激励下典型结构件进行疲劳寿命分析具有重要意义。

预测结构疲劳寿命的方法主要有频域法和时域法两种，基于功率谱密度(power spectral density,简称PSD)的频域法凭借方法简便、计算量小的特点得到了广泛的应用。使用频域法预估结构疲劳寿命，当前采用较多的有Bendat窄带分析法和Dirlik宽带分析法[2]。这两种方法都是基于Miner线性损伤理论，这一理论虽然形式简单、运用方便，但未考虑载荷作用次序对累计损伤的影响[3]，计算得到的寿命预估结果往往偏于危险。为此，研究者们提出了修正Miner理论[4]和双线性理论[5]，但结果仍不理想。直到非线性疲劳累积损伤理论发展起来[6]，才能较好地描述疲劳累积损伤特性，其不足之处是模型较复杂，理论性很强，因而难以应用于寿命估算。笔者基于损伤曲线法提出了一种频域修正方法，考虑了加载顺序对疲劳寿命的影响，一方面能够更准确预估谱激励下结构的疲劳寿命，另一方面易于工程应用，为结构抗振动疲劳设计提供新的技术支撑。

1 振动疲劳寿命分析理论

1.1 多轴应力等效

结构件在动态载荷作用下一般处于复杂应力状态(即多轴状态)，在确定载荷下，采用Von Mises等效准则将多轴应力转化为单轴应力，再利用已有较为成熟的单轴疲劳分析理论预估结构件寿命，无疑是一条简单而有效的途径[7]。在频谱范围内进行Von Mises应力等效，由于频谱是以复向量的形式表达各频段范围内的应力分布，因此，在进行应力等效时不会出现时域内部分相位信息和实际不相符的问题[8]。在平面应力状态下，频域内的Von Mises应力等效表达式为

(1)

1.2 损伤曲线法

目前应用较为广泛的Bendat和Dirlik频域寿命估算方法都是基于Miner线性累积准则进行推导的，它认为材料在各个应力水平下的疲劳损伤是独立进行的，总损伤可以线性叠加。对于一定水平的应力循环，假设存在一个破坏寿命Nf，则可以得到一个循环内产生的损伤为1/Nf，那么当∑1/Nf=1时，即可认为材料发生了破坏。该理论形式简单、使用方便，但却没有考虑载荷间的干涉效应，因而寿命预估结果与试验值相差较大。而非线性累积损伤理论认为载荷历程与损伤之间存在相互干涉作用，损伤累积速率随着循环次数的增多而增大，与实际情况更为吻合，其中具有代表性的就是损伤曲线法[9]。

结构损伤可以用瞬时裂纹长度与最终裂纹长度的比值来表示。引用Manson和Halford[5]在1981年提出的裂纹扩展方程

(2)

其中：a0为初始裂纹长度；af为最终断裂的裂纹长度；n,Nf分别为达到裂纹长度a,af时外加载荷的循环次数；αf为经验参数，计算方法如下

(3)

因此，结构累积损伤D可以表示为

(4)

式(4)表示，当累积损伤D=1(即a=af)时，结构就会发生破坏。

考虑如图1所示的二阶高-低顺序加载，其相应的累积损伤模型如图2所示。由图2可看出，如果按幅值先高后低的顺序加载即先沿着OA施加强度较高而寿命较短的载荷，然后再沿着A′B′施加强度较低而寿命较长的载荷，循环比之和将小于1。相反，如果先沿着OA′施加应力水平较低的载荷，然后再沿着AB施加应力水平较高的载荷，则循环比之和大于1。因此，疲劳寿命的预测与加载顺序有关。

图1 二阶高-低顺序加载Fig.1 Two-step high-low sequence loading

图2 非线性累积损伤Fig.2 Nonlinear damage accumulation

如图2所示，两个载荷水平在A点和A′点上的损伤相同，根据方程(4)可以得到循环比n1/N1,f和等效损伤循环比n2/N2,f之间的关系满足方程

(5)

(6)

其中：n1，n2分别为在N1,f，N2,f寿命水平时的循环次数。

(7)

因此，另一个寿命水平(N2,f)的损伤曲线则可以表示为

(8)

对于多个寿命水平(N1,f,N2,f,…,Nn,f)，通过将最低寿命水平的损伤曲线作为基准寿命Nref，可以快速构建损伤曲线。各个寿命水平的应力产生的累积损伤量为

(9)

(10)

(11)

其中：ni为在Ni,f寿命水平时的循环次数;ni,eq为前i-1次加载的等效循环次数；Di为i次加载后的累积损伤，该值为1时认为结构破坏。

2 试 验

2.1 试验件

简单试验件的尺寸和形状如图3所示，所使用材料为2024-O铝合金，材料物理属性如表1所示。试验件一端夹持在特定夹具上，利用振动台对其施加加速度随机振动基础激励，同时为了缩短疲劳试验的时间，在试验件另一端加上配重块，材料为Q235钢。

图3 试验件尺寸(单位：mm)Fig.3 The size of specimens(unit:mm)

材料弹性模量/GPa泊松比密度/(kg·m-3)2024-O61.80.332 780

2.2 有限元仿真

使用Hypermesh和Patran&Nastran软件建立有限元模型如图4所示，设置好相关参数后，对结构进行模态分析并对照模态试验结果修正模型，引入结构阻尼。

图4 有限元模型Fig.4 Finite element model

采用模态法对模型在频率10～650 Hz范围内进行频响分析：施加单位加速度载荷作用于基础，计算得到整个结构的频率响应。然后输入加速度平直激励谱(频率为10～650 Hz，幅值为0.015g2/Hz，均方根值(root mean square,简称RMS)值为3.098g)，进行随机响应分析，得到结构应力响应云图如图5所示。提取危险位置处的应力响应功率谱密度(power spectral density,简称PSD)曲线如图6所示，RMS值为77.84 MPa。

图5 应力云图Fig.5 Stress nephogram

图6 危险位置的应力响应PSD曲线Fig.6 The stress response PSD curves of dangerous location

2.3 频域寿命估算结果

对试验件进行随机振动疲劳试验，得到试验寿命结果[10]如表2所示。由于加工的试验件尺寸存在一定误差、人工紧固螺栓不能保证约束状态完全相同等原因，各试验件寿命结果存在一定的分散性。

表2 试验件寿命试验结果

基于Matlab编程实现了Dirlik法和Bendat法频域寿命分析算法，结合危险位置处的应力响应PSD曲线，对结构进行疲劳寿命预估计算，计算结果如表3所示。

表3 试验件寿命预估结果

由表3可见，使用两种频域算法预估的疲劳寿命均比试验结果平均值偏高。究其原因，这两种方法都是基于Miner线性损伤准则的，没有考虑加载顺序对疲劳寿命的影响。因此，笔者提出下述修正方法对预估结果进行修正。

2.4 频域寿命结果修正

非线性累积损伤准则在以往的研究当中都是用于时域算法的，得到了较为理想的结果，因此可以考虑将该准则的基本思想引入到频域算法中去。

根据Miner线性损伤准则，不考虑加载顺序时，若将预估的寿命结果平分为N段，每段时长ΔT，则每次施加ΔT时长的载荷将固定产生1/N的损伤量，N次加载后结构破坏；然而当考虑顺序效应影响时，根据损伤曲线法可知，第2次以后每次加载产生的损伤量均大于1/N，且随着加载次数的增加，每次加载产生的损伤量越来越大。换言之，若想要使第2次以后每次加载产生的损伤量依然等于1/N，那么加载的载荷时长应该均小于ΔT，假设结构从开始加载到破坏每产生1/N损伤所需的时间依次为ΔT(1),ΔT(2),…,ΔT(N)，则有ΔT(1)>ΔT(2)>…>ΔT(N)，其中ΔT(1)=ΔT，即产生同样大小损伤量所需的载荷时长会随着加载次数的增加而减少。

当ΔT足够小时，可以假设前3次加载产生1/N损伤量所需的载荷时长均为ΔT，即ΔT(1)=ΔT(2)=ΔT(3)=ΔT；而最后一次加载产生1/N损伤所需的时间为零，结构瞬间破坏，即ΔT(N)=0。

通过将应力响应PSD曲线进行时域模拟可以得到一个时长ΔT的时域信号，根据损伤曲线法准则，由式(9)～(11)可以计算得到每次加载该时域信号产生的损伤量。时长ΔT的选取应该适当：过大则上述假设不成立，过小则随机时域信号无法准确反映数据特征。计算得到ΔT分别等于5,8,10,12,15,20 s时加载次数与单次加载产生损伤量之间的关系曲线，如图7所示。

图7 加载次数与单次加载产生损伤量的关系曲线Fig.7 The relation between the number of loading and the amount of damage produced by single loading

文中取ΔT=5 s，并尝试通过指数函数和多项式函数对该曲线进行拟合，结果如图8所示。

图8 曲线拟合结果Fig.8 Curve fitting result

可以看出，3次多项式足以满足拟合要求，故文中采用3次多项式拟合上述曲线。不妨假设每产生1/N损伤所需的时间ΔT(i)随加载次数的变化曲线也是一个3次多项式曲线，表达式为

ΔT(i)=a3i3+a2i2+a1i+a0

(12)

由前文假设可以确定式(12)的条件为

(13)

根据上述条件可以确定式(12)中a1,a2,a3,a44个参数，得出单次加载产生1/N损伤量所需载荷的时长ΔT(i)随加载次数的变化曲线如图9所示。将N次加载的时域信号长度叠加，即可得到修正后的寿命结果。即

(14)

图9 ΔT(i)随加载次数的变化曲线Fig.9 The relation between ΔT(i) and loading times

图9中各部分面积可以表示为

(15)

其中：曲线AC与坐标轴所围成区域(1)的面积S1就是基于损伤曲线法理论修正后的寿命结果；而四边形OABC的面积SOABC则表示基于Miner累积损伤准则预估的寿命结果；区域(2)的面积S2为上述二者的差值，即采用线性准则预估寿命时不考虑加载顺序的影响所造成的误差。

2.5 修正后的频域寿命结果

按照上述修正方法对2.3节中通过两种频域算法预估的寿命结果进行修正，分别得到ΔT(i)随加载次数的变化曲线表达式为

(16)

将式(16)带入到式(14)中可以得到修正后的疲劳寿命，并与疲劳试验结果平均值3 652.8 s进行对比，结果如表4所示。

表4 疲劳寿命修正结果

由表4可见，经过寿命修正后的结果更接近于试验结果。初步验证了基于损伤曲线法的寿命结果修正方法有效可行。

3 工程算例

图10 九宫格壁板有限元模型Fig.10 The finite element model of stiffened plate

某航空典型结构件九宫格壁板的有限元模型如图10所示，长为1 000 mm，宽为800 mm，共划分为10 020个有限元单元。该结构振动呈现固有频率密集和动态应力多轴性的特点，而且破坏部位较为分散，在工程上很难做到准确地预估和分析疲劳寿命。

模型加强筋和壁板均采用壳单元，二者之间的连接方式用RBE2的方式进行模拟。结构四周固定在特定夹具上，并施加垂直于壁板方向的加速度随机振动基础激励，所使用的材料为2024-O铝合金。

使用Patran&Nastran软件，通过调整模型内部连接关系和外部边界条件，调用Nastran 103模态计算，得出前3阶固有频率如表5所示。

表5模态分析仿真结果

Tab.5 Simulation result of natural frequency Hz

在频率范围65～350 Hz内对模型进行频响分析，输入加速度平直激励谱(频率为65～350 Hz，幅值为0.990 3g2/Hz，RMS值为16.8 g)，进行随机响应分析得到九宫格壁板应力云图如图11所示。提取危险部位(即九宫格壁板中心点)x方向应力响应RMS值为30.8 MPa，处于试验所测得的27.2～32.6 MPa区间内，验证了所建模型的准确性。

图11 九宫格壁板x方向应力响应云图Fig.11 x directional stress response nephogram of stiffened plate

图12 各分量方向应力响应PSD曲线 图13 等效应力响应PSD曲线Fig.12 Stress response PSD curves of each component direction Fig.13 Equivalent stress response PSD curve

危险部位各分量方向的应力响应PSD曲线如图12所示，结合Von Mises等效准则的使用，将多轴应力转化为单轴应力，得到等效应力响应PSD曲线如图13所示。然后利用Dirlik法和Bendat法进行疲劳寿命预估计算并进行结果修正，取ΔT=5 s，得出每产生1/N损伤所需的时间ΔT(i)随加载次数的变化曲线表达式为

(17)

将上式带入到式(14)中得到修正后的结果寿命，与疲劳试验所测得的寿命平均结果4 080 s进行对比，结果如表6所示。

表6 九宫格壁板寿命预估结果

由表6结果数据可知，采用线性准则计算的结果远大于试验值，而基于损伤曲线法对寿命结果修正后计算精度明显提高，得到了较为满意的结果，进一步验证了新方法的可行性。

4 结束语

通过对线性累积损伤和非线性累积损伤的对比分析，笔者提出了一种可以提高寿命预估精度的新方法。该方法基于考虑加载顺序的损伤曲线法这一非线性累积损伤模型，对两种频域分析结果进行了修正，将非线性准则的基本思想引入到了频域算法中。相比于直接运用非线性准则预估结构的疲劳寿命，该方法更为简单，且使用方便。通过简单试验件和九宫格壁板的试验验证可知，使用新方法得到的寿命预估结果精度提高了30%以上，更为接近试验值，具有工程推广价值。