推理能力的内涵及教学建议

2018-11-01◇张丹

小学教学(数学版) 2018年5期

◇张丹

推理是从已知判断推出未知判断的思维过程，在数学中具有重要的地位。“数学发展所依赖的思想在本质上有三个：抽象、推理、模型。”[1]人们通过抽象，从客观世界中得到数学的概念和法则，建立了数学学科；通过推理，进一步得到更多的结论，促进数学内部的发展；通过建模，把数学应用到客观世界中，沟通了数学与外部世界的联系。

发展学生的数学推理能力无疑是数学教学的重要目标之一。《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》和《义务教育数学课程标准（2011年版）》都将“推理能力”作为了核心概念。中国学生发展核心素养在“科学精神”的要点中涉及了“理性思维”和“勇于探究”，具体叙述中提到了“尊重事实和证据，有实证意识和严谨的求知态度”“能大胆尝试，积极寻求有效的问题解决方法”等，无疑，推理能力的发展对于促进学生的科学精神是非常重要的。

一、推理能力的内涵

《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》中指出：“推理能力主要表现在：能通过观察、实验、归纳、类比等获得数学猜想，并进一步寻求证据、给出证明或举出反例；能清晰、有条理地表达自己的思考过程，做到言之有理、落笔有据；在与他人交流的过程中，能运用数学语言合乎逻辑地进行讨论与质疑。”

《义务教育数学课程标准（2011年版）》中指出：“推理一般包括合情推理和演绎推理。合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推断某些结果；演绎推理是从已有的事实（包括定义、公理、定理等）和确定的规则（包括运算的定义、法则、顺序等）出发，按照逻辑推理的法则证明和计算。在解决问题的过程中，两种推理功能不同，相辅相成：合情推理用于探索思路，发现结论；演绎推理用于证明结论。”

由上面的阐述不难看出，二者都强调了“获得数学猜想—验证猜想”的全过程，以及猜想和验证的能力是推理能力的两个重要方面。正如波利亚所说：“假如你希望用几个字来说明什么是科学的方法，那么我提议它是：猜测和检验。”[2]

二、推理能力的发展应贯穿于整个数学学习过程中

在概念的形成过程中，学生需要归纳概括概念的含义；在将新学概念纳入原有概念体系时，学生需要通过推理寻求概念之间的关系。许多规律的得出都运用了归纳推理，比如，商不变的规律、三角形内角和为180度；还有一些规律的得出运用了类比推理，比如，学生由长方体、正方体的体积为底面积乘高，类比猜想圆柱的体积也为底面积乘高。猜想的结论不一定正确，这就需要验证。虽然小学中没有强调严格的证明，但鼓励学生验证结论或说明道理（比如说明运算的道理），在这个过程中，学生实际上进行了演绎推理。教学中应鼓励学生尝试通过观察、操作、归纳、类比等得到新的发现；鼓励学生说明理由、有条理地表达自己的思考过程，这就是推理能力的培养。当然，这一过程是循序渐进的。

其实，如果我们给予学生充分的思考空间，细心观察他们的思考过程，不难看出学生的思考过程往往就是进行猜测和尝试验证的过程。不妨来看下面的例子，这是四年级学生小吴（以下简称“吴”）探索图形密铺的过程。

师：我们先思考一个相同图形密铺的情况，说说你想到了什么。

吴：什么样的图形可以密铺呢？

（观察提供的学具，他很快判断出正三角形、正方形可以密铺；通过简单操作，他发现正六边形也可以密铺）

吴：所有的正多边形都能密铺，直边就行，圆不行。（这是他通过归纳提出的第一个猜想）

吴：我再试试正五边形。（没有外界的提醒，他自觉地想到再尝试几个图形检验自己的猜想）

吴：正五边形无法密铺，因为铺到第三个时有这样一个角，需要一个三角形，但没有三角形（如图1）。（学生的思维过程实际上呈现了演绎推理的特征）

图1

此时，小吴开始注意到了角，然后继续操作一般四边形和一般三角形。在第一次尝试一般四边形密铺时，由于图形摆放的原因，他觉得不能密铺，但心存疑惑，于是决定先把它放在一边。在研究一般三角形密铺时，尽管操作过程并不顺利，但他发现了图形密铺的规律。

吴：三角形的内角和是180度，两个180度就是一个360度的无缝拼接。

同样地，他在无人提醒的情况下，找到了平行四边形、梯形、等边三角形、正六边形等进行拼摆，实际上是在确认自己的发现。最后，他完整地表述了自己的发现：总要有某几个内角可以拼成一个360度，要不然是绝对不可能密铺的。

此时，他又进行第二次一般四边形密铺的尝试，这一过程也不顺利。但正是因为他“确认”了自己的结论，而四边形的内角和是360度，所以他坚持操作，最终密铺成功。

从上面的过程中不难看出，猜想和验证、合情推理和演绎推理互相支撑，相辅相成。

三、鼓励学生不断经历“猜想—验证”的全过程

教学中要设计丰富的活动，鼓励学生经历从提出猜想到验证猜想的全过程，鼓励学生通过观察、实验、归纳、类比等获得猜想，并进一步寻求证据，加以证实或举出反例，即大胆猜想、小心求证。

1.通过归纳推理、类比推理和溯因推理等获得猜想。

归纳推理、类比推理和溯因推理起着通过条件预测结果、通过结果探究成因的作用，是获得猜想的重要推理方式。

归纳推理是根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，是从特殊到一般的推理。小学阶段很多规律的得出都运用了归纳推理，教师对此比较熟悉，这里就不举例了。

类比推理是由两个或两类思考对象在某些属性上的相同或相似，推出它们的另一属性也相同或相似的一种推理。相比归纳推理，类比推理在小学阶段受到的重视不够。其实，小学阶段的类比推理也是比较多的，既有知识的类比，也有方法的类比。比如，有运算对象的类比，由整数所具有的规律，类比小数、分数是否具有这样的规律；有运算的类比，由加法交换律类比到减法、乘法、除法是否也有交换律；有平面图形之间的类比，由长方形面积等于长乘宽类比平行四边形的面积是否等于两个邻边相乘；有平面图形到立体图形的类比，由长方形的面积等于长乘宽类比猜想长方体的体积是否等于长乘宽乘高。“如果说归纳更多地依赖于规律的发现，那么类比则更多地依赖于跳跃的联想。钱学森非常强调这样的联想，他曾经说：‘科学上的创新光靠严密的逻辑思维不行，创新的思想往往开始于形象思维，从大跨度的联想中得到启迪，然后用严密的逻辑加以验证。’”[3]

归纳和类比推理尽管形式不同，但都是从因推果的过程。溯因推理则是由果溯因的过程，是从结果到原因、从现象到解释的推理。它的推理过程是：事实B发生了；如果A，则B。所以，有理由猜测A是真的。这里不妨举一个福尔摩斯的例子。福尔摩斯和华生去野营。星空下，他们支起帐篷，进入梦乡。半夜醒来后他们看到天上的星星。从同一事实出发，两人却得出了不同的结论，因为两人使用了不同的推理方法。福尔摩斯使用了溯因，他得出的结论是帐篷被偷了[4]。福尔摩斯的思维过程是这样的：看到天上的星星（p），思考原因是我们睡在露天里（r1），进一步推出我们的帐篷没有了（r2），我们的帐篷可能被偷了（r3）。

当然，除了以上推理形式，有时演绎推理也会导致新的发现。

2.通过多种形式对猜想进行验证。

当学生做出各种猜想后，教师应该引导学生设法加以验证，不仅要让他们猜想“是什么”，还要引导他们验证“真的是这样吗”。

根据小学生的年龄特点，他们验证时采用的方式往往是再举一些例子，利用生活现象和图形进行解释，也可能利用概念的意义等加以说明。验证过程的形式也是多样的，既有用符号说明的，也有利用自然语言、图表等说明的。以乘法分配律为例。学生通过一些例子猜想乘法对于加法满足规律：a（b+c）=ab+ac。进一步，学生可以通过以下方法进行验证，其中，画图解释、利用乘法的意义进行解释已经起到了演绎推理的作用。

（1）举更多的例子：学生会再举出其他更多的例子，来增加猜想的可信度。

（2）利用生活现象解释：学生举出购物等生活中的实例。比如，上衣每件b元，裤子每件c元，求买a套一共多少元。可以先求出1套多少元，再算a套多少元；也可以分别算出a件上衣多少元、a件裤子多少元，再加起来。

（3）画图解释：学生画出图2加以解释。求图2所示的大长方形的面积，既可以用长乘宽即a（b+c），也可以用两个长方形面积之和即ab+ac。

图2

（4）根据乘法的意义解释：a（b+c）表示（b+c）个a相加，也可以看作b个a相加与c个a相加的和。

当然，对于画图解释及根据乘法的意义解释，学生也可以举出一个具体的数据例子。比如，12×（13+17），既可以看作（13+17）个 12 相加，也可以看作13个12相加，再加上17个12相加。此时，虽然仍然是举例，但这个例子可以推广到一般情况，所以实际上也具有了演绎推理的特征。

教学中还需要鼓励学生开展互动交流，讨论同学之间提供的证据是否具有说服力，能否说服大家。正所谓“说服自己、说服朋友、说服敌人”。

四、抓住猜想和验证过程中的几个关键环节

尽管归纳推理、类比推理、溯因推理等有各自不同的思考方式，但从猜想和验证的过程来看，都有如下几个关键环节。

1.疑问驱动。

猜想往往始于疑问，疑问驱动了进一步的发现。有时候，学生心中的疑问开始时并不明确，而在后续思考的过程中逐渐明确。比如，一个学生在写出了 2、3、5、7、9 等相邻质数后，产生疑问：相邻质数之间是否存在规律呢？又如，一个学生在学习了圆柱的体积等于底面圆的面积乘高后，进一步产生疑问：圆锥的体积与底面圆的面积和高存在什么关系呢？