安徽省太和县宫集镇中心学校(236652) 王伟民

取一根无弹性的细棉线，一端粘贴在乒乓球上，另一端粘贴在玻璃烧杯底部的中央位置，将烧杯置于水平桌面并向杯内注水，乒乓球便会浮起。调整杯内水的深度，使乒乓球约有一半的体积浸入水中，如图1(a)所示。观察现象发现，当乒乓球静止时牵拉乒乓球的细线是竖直的。该现象很容易利用二力平衡知识进行解释：水面上静止的乒乓球受到3个力的作用——乒乓球自身的重力、水的浮力和绳子对乒乓球的拉力，由于重力和浮力的方向分别是竖直向下和竖直向上，平衡状态的乒乓球所受绳子的拉力一定竖直向下。因此，牵拉乒乓球的细线是竖直的。

如图1(b)所示，将烧杯缓慢倾斜，并调整其倾斜程度，发现当乒乓球靠近烧杯的杯壁但与杯壁不接触时，牵拉乒乓球的细线不再竖直，而是稍微有些倾斜。用重垂线比较发现，牵拉乒乓球的细线与重锤线有一个较小的夹角，虽然角度不大，但可以看得出来，如图1(c)所示。那么，形成这种现象的原因何在？

图1 实验装置

实际上，牵拉乒乓球的细线之所以从烧杯的侧面观察看起来向一侧倾斜，有以下2个方面的原因。

1 靠近侧壁的乒乓球里外两侧所受的外界压力不等

由于水与玻璃相浸润，所以，玻璃烧杯内装水后，水面是凹形的。如图2(a)所示，过中央水平的水面作一水平面，将玻璃烧杯内的水分成上下两部分。显然，在该水平面之上紧邻杯壁的空间有环绕杯壁的“水圈”存在，该区域水内部的压强小于外界大气压，而且在这一区域内的水中位置越靠上压强越小。

当乒乓球靠近烧杯的杯壁时，如图2(b)所示，乒乓球的里外两侧在水中的位置不同。过外侧水面与乒乓球的交点作一水平面，跟刚才所作的过中央水面的水平面相比，该水平面位置较高。在两个水平面之外的空间，乒乓球表面等高度的各点所受外界压强相等，而在两水平面之间的区域，乒乓球里侧和外侧所受压强不等——乒乓球里侧暴露在空气中，所受压强等于一个大气压，而乒乓球外侧处在内部压强小于一个大气压的水中。所以，乒乓球里侧所受压强大于外侧所受压强，而且乒乓球距离杯壁越近，外侧浸在内部压强小于大气压的“水圈”中的深度越大，里外两侧所受外界压强差就越大。

图2 原因分析(一)

取一个口径较小的玻璃烧杯(内径约为乒乓球直径的2倍或更小)，向杯内注水待水面静止后，将一乒乓球轻轻放在杯内水面的中央位置。由于外界环境轻微的扰动，乒乓球通常会向某一方向缓慢漂移。多次实验能够观察到乒乓球运动的一个共同规律——当乒乓球漂移到距离杯壁较近位置时，会加速“撞”向杯壁，之后便紧贴杯壁而静止，好像乒乓球受到烧杯侧壁的吸引力一样。该现象也间接证明以上的分析是正确的——靠近烧杯侧壁的乒乓球内外两侧所受外界的水平压强不等。

如果烧杯内盛的是与玻璃不相浸润的液体，情况又将如何？

若液体与玻璃不浸润，则玻璃杯内的液面是凸形的，如图3(a)所示。当漂浮在液面的乒乓球靠近烧杯的侧壁时，乒乓球里外两侧在液体中的位置也不相同。分别过杯内液体表面中央的水平面和乒乓球外侧与液面的交点作两个平行的水平面，如图3(b)所示。在这两平面之外，乒乓球表面上等高度的各点所受外界压强相等，而在这两平行的水平面之间，乒乓球外侧面所受压强等于外界大气压。当乒乓球靠近容器的侧壁时，在水平方向上乒乓球依然受到方向指向侧壁的合力——乒乓球里外两侧面所受外界压力不等是盛水玻璃烧杯中牵拉乒乓球的细线看起来倾斜的一个原因。

图3 原因分析(二)

2 光的折射

如图4(a)所示，将盛水的容器倾斜，待水静止后将下端吊有金属球的细线置于容器液面的中央位置，按说此时的细线应该是竖直的，但从容器侧面观察时，能够明显看到水中的细线跟水面之上的细线不共线。若在容器外面用一个重锤线进行比对，如图4(b)所示，能够看到悬挂金属球的细线在水中的部分与竖直方向有一个夹角。

图4 原因分析(三)

跟漂浮在水面并靠近烧杯侧壁的乒乓球水平方向所受外力情况不同，浸没在水中的金属球在水平方向上四周所受水的压力是平衡力，它们的合力为零。所以，从侧面看水中的细线偏离竖直方向的唯一原因只能是光的折射。

图5 光线分析

以细线与水面的交点为坐标原点，水平向右的方向为x轴的正方向，水平向外的方向为z轴的正方向，建立如图6(a)所示的空间直角坐标系(图中未画出z轴，因为我们只需在xOy平面内探究，这并不影响问题的讨论)。过O点作垂直于烧杯底面的直线OE(O点为液面的中心位置)，如图6(b)所示，则OE为柱状凸透镜的主轴，由于y轴的负半轴就是悬挂金属球细线的实际位置，而y负半轴上的不同点距离主轴OE的距离不同，所以从烧杯侧面观察时，水中细线上的不同点的虚像距离主轴的距离也不相同，但由于细线上的各点物距相同，因此浸入水中的细线各点所成的虚像到主轴OE的距离与该点到主轴OE距离的比值为一大于1的常数，不妨设该比值为k(k>1)。设P是人眼从烧杯侧面看到细线上任意一点的虚像，它在xOy平面内的正投影为P′，其坐标为P′(x，y)，A是对应的物点，过A作垂直于主轴的平面，交主轴OE于B，则P点在该平面内[P、A、B3点共面但不共线，在图6(b)中看到的是烧杯的侧视图，P点被P′点所遮挡，看起来好像P、A、B3点共线一样]。由于凸透镜成放大虚像时，虚像点到主轴的距离大于对应物点到凸透镜主轴的距离。所以，水中悬吊金属球的竖直细线上各点的虚像一定在y轴负半轴的右边。因此，本来是竖直的细线看起来将不再竖直，而是偏离竖直线向右倾斜。

图6 坐标系分析

那么，直的细线通过柱状凸透镜所成的虚像看起来是否仍然是直的呢？不妨探究xOy平面内动点P′的运动轨迹。过P′作P′H⊥y轴，垂足为H，设∠AOB=α，则∠AP′H=α。

图1所示的实验中，人从侧面观察被乒乓球拉直的水中的细线，看起来偏离竖直方向而变得倾斜，是两个因素共同作用的结果——该现象的形成既跟光的折射有关，也和水与玻璃相浸润而形成的凹形水面对乒乓球的水平作用有关。