刘芝庭，王宇华，郑文炜

（佛山科学技术学院机电工程系，广东佛山528000）

家电空调厂商在空调生产线上需要根据空调外机的振动做合格检测，利用故障诊断技术对生产线上的家用空调外机进行故障检测对提升生产商的生产效率具有重要意义。

变分模态分解（varirational mode decomposition VMD）是 K Dragom-iretskiy和 D Zosso［1］于 2014 年提出的一种自适应的信号分解新方法。该方法通过循环迭代求取约束变分问题的最优解来确定分解得到本征模态分量（IMF）的频率中心及带宽，实现信号的分解。相对于神经网络中的结构选择和权值初始值设定需要借助于经验、最优解容易陷入局部极小点及过学习等劣势［2］，支持向量机（SVM）有可以解决小样本学习、高维问题、结构选择问题和局部极值问题的优势［3］。

陆郁［1］利用多普勒测振仪对生产在线的外机进行了故障机振动信号分析，安邦［5］等应用VMD实现了齿轮箱的故障诊断，于德介［6］等利用SVM实现了转子的故障诊断，张亚楠利用SVM实现了电机机械故障诊断［7］。目前还很少看到家用空调故障诊断方面的文献报道，本文借鉴VMD、SVM在其他机械故障诊断中应用的成功案例，并利用VMD和粒子群算法（PSO）优化的SVM对家用空调外机进行故障诊断研究。

本文综合利用VMD、粒子群算法以及SVM对家用空调外机的振动信号进行故障分类，利用泄露能量计算VMD分解个数K，提出一种计算本征模态函数（IMF）自相关函数的能量集中比和IMF分量与原信号的相关系数的比值Q，并运用Q作为判断噪声IMF分量的新方法，剔除噪声分量，将保留下来的IMF分量的有效值作为特征向量输入经粒子群算法优化的SVM，对空调风扇转速过低压缩机正常、空调风扇转速过低且压缩机不稳定，空调转速正常压缩机不稳定以及正常4种工况进行分类，从而对家用空调外机故障进行识别。

1 变分模态解

1.1 基本原理

定义1在VMD中IMF被重新定义为一个调幅-调频信号，有

其中，Ak（t）为uk（t）的瞬时幅值，ωk（t）=φ′k（t）为uk（t）的瞬时频率。Ak（t）和ωk（t）相对于φk（t）的变化是缓慢变化。即在时间内uk（t）可以视为一个幅值为Ak（t）、频率为ωk（t）的简谐信号。

定义2 根据卡森原理（Carson’s formula），IMF估计带宽为

其中，Δf为瞬时频率的最大偏移，fFM为调频信号的最高调制频率，fAM为包络线Ak（t）的最高频率。

VMD获取IMF分量的方法原理与经验模态分解（EMD）不同，摒弃了EMD方法利用循环筛选的处理手段，将信号的分解引入到变分模型中进行解决。假设每个IMF具有有限带宽，变分问题可表示为寻求K个IMF，使得所有IMF的估计带宽之和最小，并且满足各模态函数之和等于原始输入信号的约束条件，具体分解步骤如下。

（1）VMD根据预设IMF个数K、带宽参数α以及K个中心角频率ωk，于是可获得各初始本征模态函数uk（t）。

（2）通过Hilbert变换，得到每个本征模态函数的解析信号，并得到其单边频谱。

（3）加入指数项调整各本征模态函数的估计中心频率，将每个本征模态函数的频谱调制到相应的基频带。

（4）计算各本征模态函数的梯度的L2范数，估计各本征模态函数的带宽之和，并且满足各模态函数之和等于原始输入信号f的约束条件为其中，｛uk｝=为VMD分解的K个IMF分量，为VMD分解的K个IMF分量的角频率中心，j为虚数单位，*为卷积符号。

（5）引入增广拉格朗日函数将待求解的约束性变分问题转变为非约束性变分问题，即

其中，α为平衡因子，λ为Lagrange乘子，＜＞为内积运算。平衡因子α可保证信号的重构精度，Lagrange乘子可加强约束。

其中，ωk等同于等同于∑i≠kui（t）n+1。

采用Parseval/Planchere Fourier等距变换将式（4）变换到频域，用ω-ωk代替第一项的变量ω，并转换为非负的频率区间积分的形式，即

1.2 分解个数确定

VMD分解前需要提前给出模态个数K，如果K过小，信号中的多个分量可能会同时出现在一个IMF中，或某个分量无法被估计出；若K值过大，信号中的某些分量会出现在多个IMF中，迭代得到的IMF中心频率最终发生重叠［5］。

设采集到有限时长N的振动信号为x（i），其中i=1，2，3，…，N。VMD分解的MIF分量为cj（i），其中j=1，2，3，…，K；i=1，2，3，…，N。则 x（t）的能量 E 为

经VMD分解第j个IMF分量cj（t）的能量EJ为

若分解出的各个分量之间是正交的，则泄露能量EL为

信号经VMD分解后，得到的IMF分量具有近似正交性，若K选取适当IMF分量之间的正交性较好，泄露能量小，就选取泄露能量作为选取K的指标。

1.3 噪声确定

1.3.1 能量集中比

含有周期成分的信号的自相关函数在t=0时具有最大值，且在t较大时仍具有明显的周期性。纯白噪声信号的自相关函数在t=0时也具有最大值，但随着t的变化快速衰减至0，利用白噪声这一特点识别IMF分量中的噪声分量。

能量集中比的定义为信号在某段时间内的能量与整个信号的能量之比［8］，可表示为

设原始信号长度为N，第j个IMF分量自相关函数为xcorrj（i），其长度为2N-1，取IMF分量自相关函数在区间［-n，n］上的能量 EJnj=1，2，3，…，K 和 IMF 分量自相关函数在整个区间［-N，N］上的能量Ej，其中 j=1，2，3，…，K。并求其比值，有

由式（12）可知，若第j个IMF分量为噪声,则能量集中比较大，反之，能量集中比较小。表明IMF分量为噪声的概率与能量集中比成正比。

1.3.2 相关系数

相关系数显示两个随机变量之间线性关系的强度和方向,设原始信号为x（i），其中i=1，2，…，N，其表达式为

其中，cj（i）为第j个IMF分量。第j个IMF分量与原始信号的相关系数为

根据相关性的原理，噪声IMF分量与原信号的相关系数较低，含有信号成分的IMF分量与原信号的相关系数较高，IMF分量为噪声的概率与相关系数成反比。

1.3.3 能量集中比与相关系数的比值Q

根据IMF分量为噪声的概率与能量集中比η成正比，与相关系数ρ成反比这一特性，定义噪声判别因子Q为

将Q定义为能量集中比与相关系数的比值，能放大噪声IMF分量和含有原信号成分IMF分量的差异，从而更好地区分出噪声IMF分量。

2 支持向量机

SVM是对统计学习理论的一个实现，它是建立在VC维理论和结构风险最小化基础上的算法，其目的是寻求满足分类要求的最佳超平面。

最初SVM的提出是针对二值线性可分数据的分类，其分类原理如图1所示。对于样本集（xi，yi），其中 i=1，2，…n，且 xi∈Rn，yi∈｛-1，1｝，构造超平面 ωTx+b=0 将两类数据分开，并使两类数据之间的距离M最大，即求下列的约束优化问题

利用Lagrange乘子对式（16）进行求解可得

其中，ai≥0为Lagrange乘子，约束最优化问题由Lagrange函数的鞍点决定，且在鞍点处满足对ω和b的偏导数为0。

图1 SVM分类原理

对式（17）中的ω和b求偏导得到的关系式代入式（17）可得

于是将该问题转化为凸二次规划的对偶问题，即

根据式（19）和（20）的得到最优解为

其中，j∈SV是指满足式（19）和（20）的结果中ai≠0所对应的样本组成集合SV。因此可以得到超平面函数表达式为

当低维空间中的样本线性不可分时，通过引入非线性映像核函数φi（x），其中i=1，2…n，将样本映像到高维空间，使得样本在高维空间中线性可分。定义核函数k（xi，xj）=φ（xi）Tφ（xj），于是可以得到超平面函数为

3 粒子群算法

粒子群优化算法是由Kennedy和Eberhart在1995年提出的一种群体智能优化算法，粒子群算法在可解空间内初始化一群粒子，用位置、速度和适应度3项指针表示该粒子的特征。让粒子根据两个跟踪，即个体极值Pbest（个体所经历未知中适应度最优位置）和群体极值Gbest（种群中所有粒子搜索到的适应度最优位置）更新个体位置，通过迭代寻求最优解。设在一个N维空间中，有M个粒子组成的种群 X=［x1，x2…xM］，其中第 i个粒子的位置表示为 xi=［xi1，xi2…xiN］，其中 i=1，2…，M 第 i个粒子的速度为Vi=［Vi1，Vi2…ViN］，其中 i=1，2…，M，根据目标函数计算出每个粒子的适应度，其个体极值为 Pi=［Pi1，Pi2…PiN］i=1，2…，M，种群的全局极值为 Pg=［Pg1，Pg2…PgN］，通过式

更新个体的位置和速度。其中，ω 为惯性权重；n=1，2，…，N；i=1，2…，M；k 为当前迭代次数；Vin为粒子的速度；c1和c2均为非负的常数加速度因子；r1和r2均为分布于［0，1］之间的随机数。

4 信号仿真分析

设仿真信号为

其中，η是强度为0.1的白噪声，各成分时域分别如图2所示。

图2 时域信号分量

计算x（t）的泄露能量EL如图3所示，在K从3至4，泄露能量急剧下降，且K为3、4、5、6、7、8的泄露能量差距不大。

为了避免当K过大时发生模态混迭，取K为4对信号进行VMD分解，分解的时域和频域分别如图4、5所示。VMD分解的IMF1、IMF2、IMF3分别对应信号成分中的 30、80、150 Hz，且没有发生模态混迭。

图3 泄露能量与K的关系

图4 VMD分解分量时域

图5 VMD分解分量频域

各IMF分量自相关函数的能量集中比η（n取值为N的1%），各IMF分量与原信号的相关系数ρ，归一化Q值如表1和图6所示。根据η、ρ、Q的意义，判断IMF4为噪声分量，与前面分析结果一致，且Q相对于η、ρ有更高的区分度，更加明显的区分出IMF4为噪声分量。

5 实验信号分析

空调的主要振源为压缩机、风扇以及电机，振动信号采样率为5 000，采集数据长度为20 000，VMD惩罚因子α为2 000，精度ε为10-7。对正常（工况1）、空调转速正常但压缩机不稳定（工况2）、扇转速过低压缩机正常（工况3）以及空调风扇转速过低且压缩机不稳定（工况4）4种工况分别采集100组信号，一共400组信号，4种工况及振源状态如表2所示，空调振动信号采集平台如图7所示。

表1 η、ρ归一化Q值

表2 不同工况振源状态

图6 η、ρ归一化Q值

图7 空调振动信号采集平台

5.1 K值的确定

分别对4种工况信号随机抽取10组信号，4种工况泄露能量的归一化结果如图8所示。由图8可知，同一种状态内有一定的差距，各种工况之间存在明显的差距。正常工况K的最佳取值范围为6～8，压缩机不稳定工况K的最佳取值范围为6～13，风扇转速低工况K最佳取值范围为7～13，压缩机不稳定且风扇转速低工况K的最佳取值范围为6～8。综合4种工况的能量泄露，取4种工况最佳范围的交集，选取K=8对信号进行VMD分解。

图8 不同工况能量泄露与K值关系

5.2 特征分量的确定

在K=8的条件下，分别求出每种工况的Q什并求其平均值，归一化Q值如图9所示。根据Q的定义，状态1中IMF1到IMF6为信号成分，状态2中IMF1到IMF5为信号成分，状态3中IMF1到IMF3为信号成分，状态4中IMF1到IMF4为信号成分。取4种工况信号成份的交集，前6个IMF分量作为特征值提取分量。

图9 不同工况的Q值

5.3 构造特征向量

均方根Xrms具有稳定性好，重复性好［9］，常作为特征值指标，即

以4种工况VMD分解的前6阶IMF分量的均方根构造特征向量。

5.4 PSO优化SVM参数

对于多值分类问题，1-v-r SVM［10］可将多值问题转化为二值问题，1-v-r分类结构如图10所示，其转化步骤如下。

（1）将样本经过SVM1分为压缩机不稳定和其他状态1。

（2）再在其他状态1经过SMV2分为低转速和其他状态2。

（3）将其他状态2经SVM3分为压缩机不稳定且转速低和正常。

（4）4种工况随机取75组共300组作为训练样本对SVM进行训练，另外100组作为测试集。SVM的核函数选用径向基核函数。利用粒子群算法对惩罚因子C和径向基函数的参数σ进行优化，设置C的优化区间为［10-2103］，σ的优化区间为［10-2103］，参数加速度因子c1、c2，和惯性因子ω分别为1.5、1.7，种群数量为300，迭代次数为100，以训练样本交叉验证的准确率作为适应度，粒子群优化参数算法流程如图11所示。

图10 1-v-r分类结构

图11 粒子群优化流程

经过100次迭代，最佳适应度达到100%，此时最佳惩罚因子c为3.047 3，最佳径向基函数参数σ为1 000，粒子群优化算法适应度如图12所示。

使用最佳惩罚因子c和最佳径向基函数参数σ对SVM进行训练，对测试集进行分类，其分类结果r如表3所示。

图12 粒子群算法优化适应度

表3 故障诊断结果

6 结论

本研究综合利用VMD、粒子群算法及SVM对空调振动信号进行故障诊断，得到以下结论。

（1）利用能量泄露能确定VMD分解个数K的大致范围，有效地避免了过分解和欠分解现象。

（2）根据各IMF分量的能量集中比和相关系数与原信号的正反比关系，提出一种计算Q值的新方法，利用Q对确定噪声IMF分量进行筛选，提取出特征分量。

（3）利用粒子群算法优化的SVM对各IMF分量进行分类对VMD提取出的特征分量进行分类，得到很好的分类效果。

（4）综合利用VMD、粒子群算法以及SVM对空调振动信号进行故障诊断得到很好的分类结果，证明了本文中的方法可以对家用空调外机进行准确的故障诊断。