摘 要：在实际问题中，常常会遇到为了发挥最大的经济效益，要求在一定的条件下，提高生产效率，降低成本，节约原料，以达到利润最大化，费用最省；或施工中受污染程度最小等问题。解决这类问题就需要用到函数的极值和最值的知识。而这两个概念非常接近，学生在学习过程中经常混淆，区分不开。本文深入分析函数的极值与最值概念间的区别与联系，以及求解极值与最值的步骤，从而找出学生易于理解的方法。

关键词：函数的极值；函数的最值；区别与联系

Abstract：In the actual problem， often encountered in order to maximize the economic benefit，under certain conditions， improve the production efficiency， reduce costs， save raw materials， to achieve the profit maximization， cost of the province； Or the minimum pollution level of the construction. Solving these problems requires the use of the extremum and the best knowledge of the function. These two concepts are very close to each other， and students are often confused during the learning process. In this paper， the difference and relationship between the extreme value of the function and the most value concept are analyzed in this paper， as well as the steps to solve the extremum and the most value， so as to find out the method which the students can understand easily.

Key words：The extremum of the function； The most value of a function； Differentiation； linkage

实际生活中，往往需要解决利润最大化，容积最大，费用最省，或施工中受污染程度最小等问题。掌握好函数的极值和最值的知识就可以很好的解决这类问题。下面深入分析函数的极值与最值概念间的区别与联系，便于学生分清这两个概念。

1 极值与最值的概念

（1）函数的极值。

定义设f（x）在x0附近（即x0的邻域内）有定义，且对于x0附近任意x（x≠x0）都有：f（x）f（x0）成立，则此时y极小值=f（x0），f（x0）为极小值，x0为极小值点。函数的极大、极小值统称为极值，使函数取得极值的点称为极值点。

（2）函数的最值。

设函数y=f（x）定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意x∈I，都有f（x）≤M（或f（x）≥M）成立，则称M是函数y=f（x）的最大值（或最小值），记作ymax=f（x）=M（或ymin=f（x）=M）。

2 极值与最值的区别

（1）研究范围的不同。

极值是一个局部的概念，研究的是小范围，即某个点x0的邻域内，是通过比较极值点x0附近的函数值得出的，只能说明f（x0）与点x0附近的函数值比较（这个小范围内）是最大或最小；最值是一个整体的概念，研究的范围是整个定义域，是比较整个定义域内的函数值得出的，说明此时的函数值在整个定义域（这个全体中）是最大的或最小的。……