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从“饭来张口”到“自己动手”

2018-10-20徐腾云

新课程·中旬 2018年5期
关键词:饭来张口分类讨论动手能力

徐腾云

摘 要:数学题目,不管是课本上,还是作业本上或试卷上,如果题目有图,一般的题目都会给出图形,这样学生节省了画图的时间,但学生的画图能力、动手能力、分类讨论的意识却缺失了,近几年杭州中考数学试卷在这方面动了脑筋,有意识地增加了学生自己画图题的数量,对培养学生的动手能力起到了良好的导向作用.

关键词:初中數学;动手能力;分类讨论

数学题,有图的题大多给我们画好,一般总是有“如图”两个字出现在题目当中,这种题有助于学生理解题意,不会走弯路,使学生把主要精力放在数学思维上.但是,数学题把图画好也有它的局限性,如一题多解的题它可能有多种图示,如果把它都画出来,就禁锢了学生的分类讨论,伤害了题目的“灵魂”.同时,自己画图,也可以培养学生的动手能力,迫使学生仔细读题,认真画图.有的学生做有图题时,看题目“走马观花”,看图形却“一心一意”.导致疏忽了题目当中的重要条件,如“直线”看成“线段”,“延长BA”看成“延长AB”,“直线上”当作“线段上”等等.当然培养学生的动手能力,也是《义务教育数学课程标准》所要求的,《义务教育数学课程标准》指出:“动手实践,自主探究,合作交流是学生学习数学的主要方式.有效的数学学习方式不能单纯地依靠模仿与记忆.”“学生是数学学习的主人,应当给予学生以最多的思考、动手和交流的机会,经历知识的生成,发展,变化的全过程.”“使学生亲身经历数学问题的提出过程、解决方案的探究过程.”课标从“双基”到“四基”新增的“数学基本活动经验”也强调学生自己的动手操作尤为重要,它是学生认知的首要环节.新课程标准倡导学生获得知识应该是一个主动的过程,学生不是信息被动接受

者,而是知识获得的主动者.这就要求我们让学生动起来,使课堂活起来.有些学生,特别是几何证明题,你叫他思考没有问题,如果叫他写出来则漏洞百出,缺乏条理.叫他根据题意画图,则无从下手,举步维艰.就是叫他对着图画他也会把线段画成弧.这方面,杭州中考的命题者做了有益的尝试,近几年杭州中考数学试卷增加了自己画图题的分量,淡化了繁杂的运算和解题的技巧性,着重考查学生的数学综合素养,显现了“反对题海战术,提倡轻负高质”的导向.下面我们来看一下近几年杭州中考数学的自己画

图题.

一、只需画出图形

只要根据题意画出图形,题目就迎刃而解.

例1.(2016杭州中考)已知直角三角形纸片的两条直角边长分别为m和n(m

A.m2+2mn+n2=0 B.m2-2mn+n2=0 C.m2+2mn-n2=0 D.m2-2mn-n2=0

简析:画出图形,如图1,由题意得到等腰直角△ABC的三边长,利用勾股定理就可以做出选择.

例2.(2016杭州中考)在平面直角坐标系中,已知A(2,3),

B(0,1),C(3,1),若线段AC与BD互相平分,则点D关于坐标原点的对称点的坐标为_________________.

简析:根据题意画出图形,如图2,利用平行四边形的性质求出点D的坐标,再利用中心对称的性质求出点D对称点的坐标.

二、画图时注意分类讨论

分类讨论是初中数学的难点,画图题学生也经常不能考虑

周全.

例3.(2016杭州中考)在菱形ABCD中,∠A=30°,在同一平面内,以对角线BD为底边作顶角为120°的等腰三角形BDE,则∠EBC的度数为 .

简析:如图3,这道题学生在画图的过程中一定要注意E点的位置有两个,这样∠EBC的度数也有两个.

例4.(2015杭州中考)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,设点P(1,t)在反比例函数y=2/x的图象上,过点P作直线l与x轴平行,点Q在直线l上,满足QP=OP,若反比例函数y=k/x的图象经过点Q,则k= .

简析:如图4,这道题先利用关系式求出t的值,然后再根据题意画出图形,注意Q点的位置有两个,Q点的坐标就有两个,k的值就有两个.

例5.(2014杭州中考)点A,B,C都在半径为r的圆上,直线AD⊥直线BC,垂足为D,直线BE⊥直线AC,垂足为E,直线AD与BE相交于点H,若BH=AC,则∠ABC所对的弧长等于

(长度单位).

简析:这道题与上面两道分类讨论画图题不同的是要画两个图,∠ABC分锐角和钝角两种情况.两种情况都考虑到的学生应该是非常优秀了.

三、题目虽有图,但还需自己画

(1)写出其余满足条件的⊙P的圆心坐标;

(2)在图中标出所有圆心,并用线段依次连结各圆心,求所得几何图形的周长.

简析:第(1)画图时要注意利用对称分两类求解①相邻直线是对称轴②不相邻直线是对称轴.

例7.(2016杭州中考)23.在线段AB的同侧作射线AM和BN,若∠MAB与∠NBA的平分线分别交射线BN,AM于点E,F,AE和BF交于点P.如图9,点点同学发现当射线AM,BN交于点C;且∠ACB=60°时,有以下两个结论:

①∠APB=120°;②AF+BE=AB.

那么,当AM∥BN时:

(1)点点发现的结论还成立吗?若成立,请给予证明;若不成立,请求出∠APB的度数,写出AF,BE,AB长度之间的等量关

系,并给予证明;

(2)设点Q为线段AE上一点,QB=5,若AF+BE=16,四边形ABEF的面积为32,求AQ的长.

简析:这道题虽然有图,但(1)(2)两题还需自己画图,第(2)题还需分类讨论,注意∠MAB是锐角和∠MAB是钝角两种情况,如图10.

例8.(2013杭州中考)射线QN与等边△ABC的两边AB,BC分别交于点M,N,且AC∥QN,AM=MB=2cm,QM=4cm.动点P从點Q出发,沿射线QN以每秒1cm的速度向右移动,经过t秒,以点P为圆心,cm为半径的圆与△ABC的边相切(切点在边上),请写出t可取的一切值.(单位:秒)

简析:题目虽有图,但还需自己画,根据切点的位置分三种情况,如图.

四、数形结合有助理解题意

例9.(2017杭州中考)在平面直角坐标系中,设二次函数y1=(x+a)(x-a-1),其中a≠0.

(1)若函数y1的图象经过点(1,-2),求函数y1的表达式;

(2)若一次函数y2=ax+b的图象与y1的图象经过x轴上同一点,探究实数a,b满足的关系式;

(3)已知点P(x0,m)和Q(1,n)在函数y1的图象上,若m

简析:这道题的第(3)小题,不用画图用解析法也可解,但通过画图,数形结合能够更直观、形象.

因为二次函数y1=(x+a)(x-a-1)的对称轴x=0.5是个定值,当x=0与x=1时,函数值相等.通过画图很容易就可求出x0的取值范围,如图16.

有人会说,数学不是有尺规作图题吗?何必要多此一举呢?这不一样,尺规作图题更加规范,要求更高.而自己画图题,则更自由,只要画出题目的意思就行.对自己画图题,平时要加强对学生读题能力的培养,老师少读题,让学生自己去理解、感知,通过设置“陷阱”“隐含条件”提高读题能力,防止学生读题“一滑而过”,找不到问题的切入点和有效信息.对有些例题也可考虑不给出图形,让学生根据题意自己来画图,以锻炼学生对点、线、面的感知能力,提高作图的速度和准确性,避免因作图不准确等问题而束手无策.近几年,杭州中考试卷几乎都有自己画图题出现,自己画图题对题目命制要求更高,需要题目叙述清晰,不能模棱两可,自己画图题让学生既掌握了知识,又获得了能力.自己画图题,有利于增加学生的感性认识,有助于激发学生兴趣,发展学生思维.乡村教育家陶行知说:“人有两个宝,双手和大脑.用手不用脑,饭也吃不饱.用脑不用手,就要被打倒.用手又用脑,才是开天辟地的大好老.”有意识地引导学生动手操作,使学生手脑得到更好的发展,使他们体验到学习数学的快乐,同时在掌握知识的过程中,使学生的创新意识与创新能力得到有效发展.我想,从给出图形“饭来张口”到自己画图“自己动手”,以后自己画图题会经常出现在中考试题中,直到动手能力弱这一缺陷得到弥补为止.

编辑 李建军

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