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3-预李代数的表示与扩张

2018-10-19

通化师范学院学报 2018年10期
关键词:李超广义代数

周 月

近几年,许多学者对3-李双代数及3-李代数上的与经典Yang-Baxter方程类似的结构作了研究,比如在文献[1]中研究了3-李代数和3-李余代数以及3-李双代数之间的关系,在文献[2]中研究了Hom-3-李代数的表示和导子代数扩张,在文献[3]中通过上同调理论得到3-李代数的变形以及3-李代数的交换扩张,在文献[4]中根据李超代数的表示构造一系列的3-李超代数,在文献[5]中研究了3-李代数的经典杨-巴斯特方程,在文献[6]中研究了3-李代数的交换扩张和广义表示.本文考虑3-李代数的表示、配对以及扩张在3-预李代数上的推广,为研究3-预李双代数提供了基础.

1 3-预李代数的配对

2 3-预李代数的广义表示

定义2 设(A ,{⋅ , ⋅,⋅}) 是3-预李代数,V是线性空间和为线性映射,如果任意 xi∈A,vi∈V(1 ≤i≤5 )满足

则称(V,ρ,μ,r1,r2)为3-预李代数 (A,{⋅ , ⋅,⋅})的广义表示.

定理2设(A,{⋅ , ⋅,⋅}A)是3-预李代数,V是线性空间 ,ρ、μ:⊗2A→gl(V) 和r1、r2:A→Hom(⊗2V,V) 为线性映射,在A⊕V上定义

其中,xi∈A,vi∈V(1 ≤i≤3),则 (A⊕V,{⋅ , ⋅,⋅})是3-预李代数的充要条件是(V,ρ,μ,r1,r2)为3-预李代数(A,{⋅ , ⋅,⋅}A)的广义表示.

3 3-预李代数的非交换扩张

定理3 (A⊕B,{⋅ , ⋅,⋅})是3-预李代数的充要条件是对于任意xi∈A,vi∈B(1 ≤i≤5 )满足

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