一类脉冲系统的Melnikov函数构造方法及其应用

2018-10-17牛玉俊胡双年吴宏锷

信阳师范学院学报（自然科学版） 2018年4期

牛玉俊，胡双年，吴宏锷

(南阳理工学院数学与统计学院, 河南南阳 473004)

0 引言

脉冲系统广泛存在于生产生活和科学研究中，例如脉冲给药、定时捕捞、激光脉冲系统以及脉冲控制等，近年来引起了众多学者的注意[1-10].脉冲现象的存在会导致系统的运动状态发生突然改变，从而致使系统的向量场不再光滑，因此常用的光滑非线性系统的分析方法不能直接应用到脉冲系统[11]，其中非线性系统研究中重要的Melnikov方法，在脉冲系统中尚未得到系统地研究.

由于脉冲系统是一种特殊碰撞系统，因此碰撞系统的研究方法对脉冲系统的研究具有重要的借鉴意义.在碰撞系统的研究中，XU等[11]研究了一类碰撞系统的Melnikov函数，并将该方法应用到双边碰撞Duffing系统的混沌预测中去. TIAN等[12-15]研究了几个多碰撞系统Melnikov函数，并给出了数值模拟，取得了较好的效果.

本文将在文献[11-15]的基础上，考察定点脉冲系统Melnikov函数的构造方法，给出一种定点脉冲系统Menikov函数的解析表达式，并将函数应用到脉冲信号作用下Duffing系统的混沌预测中去，得到了该类型脉冲系统出现混沌的解析条件，并通过数值模拟验证了理论结果的正确性及有效性.

1 定点脉冲系统的Melnikov方法

定点脉冲系统可表示为如下形式：

(1)

其中：x0为脉冲发生的位置；y-、y+分别表示脉冲发生前、后y的状态；X=(x,y)T，F(X)=(y,f(X))T；G(X,t)=(0,g(X,t))T.系统(1)的示意图如图1所示.

当ε=0时，可得未扰系统(2)：

(2)

设Xh(t)=(xh(t),yh(t))T是未扰系统(2)的同宿轨，扰动系统(1)的非光滑同宿轨为

Tε,h,±=Th,±+εTh,1,±+o(ε2),

(3)

(4)

G(Xh(t),t+t0).

图1 系统(1)示意图Fig. 1 Diagrammatic sketch of system (1)

类似于光滑系统的推导，考虑如下式子:

其中算符Λ定义为：

aΛb=a1b2-a2b1,a=(a1,a2)T,b=(b1,b2)T.

类似于光滑系统的推导，对任意的t≠Tε,h,-，有

则稳定流形与不稳定流形之间的距离为

(5)

由著名的光滑系统的Melnikov方法[11]，可得

(6)

(7)

(8)

首先，由式(3)和式(4)可知，

(9)

代入式(9)得

(10)

且由

可知

(11)

(12)

同样的方法可得，

(13)

同时

F(Xh(Th,+))ΛXh(Th,+)-

F(Xh(Th,-))ΛXh(Th,-)+

(14)

其中

F(Xh(Th,+))ΛXh(Th,+)-F(Xh(Th,-))ΛXh(Th,-)=

(yh(Th,+))2-Xh(Th,+)f(Xh(Th,+))-

(yh(Th,-))2+Xh(Th,-)f(Xh(Th,-))=0.

结合式(12)和式(13)，有

(15)

且由系统(1)中的脉冲条件可知

(16)

(17)

其中

yh(Tε,h,+)=yh(Th,++εTh,1,++o(ε2))=

yh(Th,+)+εTh,1,+f(Xh(Th,+))+o(ε2),

(18)

(19)

将式(18)和(19)代入式(17)得

εTh,+f(Xh(Th,+))+o(ε2) .

(20)

同理可得

εTh,-f(Xh(Th,-))+o(ε2) .

(21)

由式(15)可得

-εα(yh(Th,-))2+o(ε2).

(22)

当t=Th,-时，Xh(t)=x0，且有

dXh(t)=yh(t)dt，dyh(t)=f(Xh(t))dt,

故有

2f(Xh(t))dXh(t)，

从而

(23)

由式(22)知道

(24)

从而由式(5)-(8)及式(24)可知

(25)

取

(26)

基于上述分析，给出系统(1)的Melnikov定理如下：

定理对系统(1)及充分小的ε，系统(1)的一阶Melnikov函数为式(26).若式(26)出现简单零点，即若存t0使得M(t0)=0，M′(t0)=0，则系统(1)可能出现Smale马蹄意义下的混沌.

2 定点脉冲信号作用下Duffing系统的混沌预测

为验证上面得到的Melnikov函数的有效性，考察如下定点脉冲系统:

(27)

其中

X=(x,y)T，F(X)=(y,bx-cx3)T，

G(X,t)=(0,-ay+rcos(ωt))T.

当ε=0时，该系统是一个未扰系统，可表示为如下形式：

(28)

其中

系统(28)为一个Hamilton系统，对应的Hamilton函数为

其中

设Th,+=-Th,-=T0，则

对未扰系统(28)，当参数取b=1、c=1、x0=1时，未扰系统(28)的相图如图2所示.从图2中可以看出，系统存在同宿周期轨.

图2 系统(28)的相图Fig. 2 Phase portrait of system (28)

由式(26)可知，系统(27)的Melnikov函数为

令M(t0)=0，可得

令

rα=

当取a=1.05、b=1、c=1、T0=0.98、ω=1、x0=1时，通过数值积分可得

rα=1.9814+0.6485α.

(29)

由Melnikov定理知道，则当r>rα时，系统(27)的稳定流形与不稳定流形会横截相交，系统(27)会出现Smale马蹄意义下的混沌.图3给出了混沌阈值图.

图3的直线上方的参数组合满足关系式r>rα，该部分出现的参数组合会导致系统(27)的稳定流形和不稳定流形横截相交，从而出现Smale马蹄意义下的混沌.反之，在该线之下的参数组合，将不能使系统(27)的稳定流形和不稳定流形相交，不会出现混沌.为验证上述理论判断的正确性，取a=2、b=1、c=1、ω=1、x0=1，画出参数r和y的分岔图，如图4所示.从图4中可以明显地看出，系统(27)有周期1运动、混沌等典型非线性现象.