张雯雯，韩裕生

(1.中国人民解放军陆军炮兵防空兵学院，合肥 230031； 2.偏振光成像探测技术安徽省重点实验室，合肥 230031)

0 引言

噪声广泛存在于图像信号的获取、传输及存储过程中，降低了图像的质量，不利于后续图像分析及处理。因此，如何有效地从噪声中恢复出清晰干净的图像是图像处理领域重要的研究内容。图像去噪通常作为进一步进行边缘检测、图像分割、特征提取及模式识别等处理的预处理，而在实际中，去除噪声及保护边缘细节往往是一对矛盾体，如何在有效去除噪声的同时充分保留边缘细节特征成为了人们研究的热点。

三维块匹配滤波 (Block-Matching and 3D filtering, BM3D) 算法[1]是当前去噪效果较好的算法之一，该算法通过在图像中寻找相似块的方法进行滤波，虽能较好保留边缘细节，但算法复杂度高，且只适用于高斯白噪声。为了得到效果更好且适应性更广泛的去噪算法，引入了块先验的思想。基于高可能性的先验块在块重建时会带来更好的恢复效果。EPLL(Expected Patch Log Likelihood)算法是Zoran等[2]提出的基于图像块先验知识的去噪算法，通过研究不同图像块的先验知识产生的去噪效果，找到较好的高斯混合模型作为先验知识，但该算法存在内部非自适应的问题。SSC_GSM(Simultaneous Sparse Coding with Gaussian Scale Mixture)算法[3]针对图像非局部模型如何设置空间自适应参数的问题，提出利用并行稀疏编码开发非局部高斯尺度混合模型。

目前先验信息应用最广泛的是稀疏编码的方法。为了提高编码精度及对异常数据的鲁棒性，文献[4]提出了带字典原子关联度的非负稀疏编码方法，文献[5]通过权值矩阵泛化残差分布减少异常点对编码和字典学习的应用。NCSR(Non-locally Centralized Sparse Representation)算法[6]用学习的先验块构造出过完备字典，通过利用图像非局部冗余性集中式的稀疏约束来降低稀疏编码噪声。稀疏编码的去噪算法对细节保存能力较强，但效率低，冗余的稀疏字典无法描述图像具体特征而影响去噪效果。

利用外部块先验正则化去噪过程虽然取得较好的效果，但它们忽略了图像内部的自相似性。PCLR(external Patch prior guided internal CLusteRing)算法[7]结合外部先验及内部自相似性来提高去噪性能，利用学习得到的高斯混合模型(Gaussian Mixture Model, GMM)来指导相似块聚类和低秩子空间学习。虽然这种方法具有很强的鲁棒性，但计算量较大，且得到的图像在细节方面不尽人意。显然，如何在提高去噪效果的同时较好地保留边缘细节是一个值得研究的问题。

针对上述不足，本文在PCLR的基础上提出基于非局部自相似性的低秩稀疏去噪算法。从自然图像中学习利用非局部自相似性(Nonlocal Self-Similarity, NSS)，将学习的先验模型应用于去噪图像达到更优的去噪效果。首先利用马氏距离(Mahalanobis Distance, MD)作为块相似性度量对外部块分组，建立基于块组的高斯混合模型。利用先验模型指导噪声图像内部聚类，获得不同结构的潜在块子空间。为了解决低秩近似的方法忽略了稀疏有用信息的问题，利用稳健主成分追踪(Stable Principle Component Pursuit, SPCP)模型[8]建立低秩稀疏近似过程来恢复潜在子空间，最后通过最小化目标函数实现去噪。与其他算法相比较，提出的算法效率更高，且具有更好的去噪效果及更强的细节边缘保持能力。

1 GMM学习图像块

从含有噪声的图像y中恢复出干净图像的问题，可用公式y=x+v表示。x表示原始干净图像矢量，v表示加性噪声矢量。为解决该问题的不适定性，将学习自然图像块像素得到的高斯混合模型作为先验信息用于正则化去噪过程。假设噪声图像块的潜在结构形成k个低维子空间，则利用k个高斯的加权平均和得到给定图像块xi的概率：

(1)

2 低秩近似与去噪

低秩矩阵近似的原理是利用原始高维空间中高效且高代表性的低维结构。含噪声图像是一个高维矩阵，可以利用合适的低秩矩阵近似保持原复杂图像的诸多性质，同时有效地减少冗余信息及噪声。

给定图像x，且假设块独立，利用以下块聚类似然公式得到所有重叠块Rx到k类的分区。

(2)

(3)

利用以下全局目标函数实现图像去噪：

(4)

其中λ是一个正常数。该能量函数有效地将图像内部的自相似性和块先验融入到整个图像的去噪模型中。文献[5]采用的块聚类方法会将大量的平滑块聚集成一个巨大的类，为了提高块聚类的准确性，采用k-mean[10]的方法，通过利用平均强度和每个块的位置对平滑块进行精确细分类，当某个类的块数小于10，则会被分到其他相似的类中。

3 改进算法

3.1 基于非局部自相似性的先验块分组

非局部自相似性被广泛应用于图像恢复，是最成功的先验之一，但大多数去噪算法，如文献[1,4,11]都只是将NSS应用于噪声图像，并不能高效地利用自相似性。为了获得更优性能的去噪算法，本文提出的基于自相似性的低秩稀疏去噪算法，建立用于学习干净自然图像NSS先验学习机制，提高先验模型的效率。

图1 基于块组的GMM先验模型学习流程

(5)

(6)

3.2 基于SPCP的低秩稀疏模型

利用上述基于块组的GMM先验模型引导噪声图像块聚类成k类后，利用PCLR算法中低秩近似的方法复原各个图像块的实验结果如图2所示，去噪后图像细节丢失，尤其是同噪声大小相当的有用高频信息。由于这些有用像素的分布较为稀疏，容易被当作噪声处理掉。

为了解决这个问题，本文基于SPCP方法建立出低秩稀疏的去噪模型，将聚类图像矩阵分解为低秩、稀疏及噪声三部分，并通过最小化全局目标函数达到去噪及保持边缘细节的目的。

图2 PCLR算法去噪后细节丢失(σ=35)

PCLR低秩去噪模型通过式(3)近似求解秩的最小化，最后达到去噪目的。该模型基于经典的主成分寻踪方法，即退化图像可以表示为D=A+E，D表示退化后图像，A为低秩结构，E为稀疏的结构。低秩结构包含了数据之间的相关性，稀疏结构包含了数据间的差异性。

传统的方法认为除去低秩部分外均是无用信息，但事实上该部分仍存留随机且稀疏的有用信息。为了在去噪过程中更好地保留细节信息，引入SPCP理论，通过添加噪声项给出新的约束条件，考虑了污染稀疏数据的随机噪声，重新建立去噪模型。

(7)

其中:Sk表示稀疏的有用信息矩阵，本文的低秩稀疏模型目的是保留该部分细节信息并叠加到低秩恢复的图像中，从而得到质量更高的干净图像。

利用文献[8]提出的SPCP模型表示式(7)的优化问题，即：

(8)

定义基于SPCP去噪模型的增广拉格朗日函数ζ，初始化乘子L得到式(9)：

(9)

(10)

其中常数β可以用来调节拉格朗日函数ζ的收敛性，且〈L,Zk-Sk〉=tr(LT(Zk-Sk));然后利用交替方向迭代算法更新Zk,Sk,Vk,L。更新迭代l次可以得到当ζ(Zk,Sk,Vk,L,β)取最小值时候的Zk、Sk、Vk。具体更新步骤可以参考文献[12]。

(11)

构造全局目标函数如下：

(12)

3.3 时间复杂度分析

在训练阶段，假设有L1个块组，每个块组有L2块，一共有L1×L2块。在一次迭代中，对于M步，时间复杂度为O(p4L1L2)；对于E步，则为O(p6L1L2)，假设迭代次数为T，则基于块组的GMM训练模型时间复杂度为O(p6L1L2T)。

而对于式(12)的去噪模型，假设k个聚类中有m个块，而每个块都有n个维度，算法正t次迭代后收敛，则该算法单次迭代的时间复杂度为O(tmkn3/4)。

4 实验结果与分析

为验证本文提出算法的去噪效果及边缘细节保持能力，选取多组自然图像进行实验，与先进的去噪算法进行比较，包括EPLL[2]、NCSR[6]、SSC_GSM[3]和PCLR[7]。从伯克利图像分割数据集(BSD)中选取200张训练图像均匀采样得到2×106张图像块，并从中学习得到有250个混合组件的GMM及参数Θ。

所有的实验均在操作系统为Windows 10、CPU为3.20 GHz的Intel Core i5-6500、GPU大小为8 118 MB、内存为8 192 MB的PC机上运行,编程环境为Matlab R2014b。

4.1 验证算法去噪性能

由文献[5]实验经验可得，对于σ≤20，20<σ≤40，40<σ≤60和σ>60的情况下，分别设置块尺寸为7×7，8×8，9×9和10×10，在6个尺寸均为256×256的不同测试图像上进行实验，验证提出算法的优越性能。由于许多实际噪声分布近似为高斯白噪声，因此本节将标准差分别为σ=15，35，55和75的高斯白噪声添加到原始测试图像上来研究和比较图像去噪效果。

实验中EPLL方法的参数设置如上，NCSR方法的基本参数设置为：正则化参数为0.02，聚70类，外层与内层迭代均为3次。SSC_GSM方法设置外层迭代14次。PCLR方法的正则化参数分别为：正则化参数为0.18，搜索因子为0.67。

采用本文提出的去噪方法和文献中提出的去噪方法得到的结果图像分别如图3所示。为了定量地衡量去噪效果及效率，通过峰值信噪比(Peak Signal-to-Noise Ratio, PSNR)及时间(TIME)两项指标对去噪结果进行统计分析，并列出表1。从实验结果可以看出，不论噪声水平高或者低，提出的算法在PSNR结果上表现都更优异，处理效率更高；而且去噪效果更好，相比其他四种算法，原图像中许多边缘和纹理细节特征(如小溪河流曲线、手套、远处建筑曲线)都被很好地保留，具有较高的视觉质量。且从图像eagle、plane、cameraman的实验结果来看，由于本文重新建立了低秩稀疏的去噪模型，所以当图像背景低秩属性明显(如天空背景)时，去噪效果相比其他算法会有更大的改善。

图3 不同算法对不同图像去噪结果

图像σEPLLPSNR/dBTIME/sNCSRPSNR/dBTIME/sSSC_GSMPSNR/dBTIME/sPCLRPSNR/dBTIME/s本文算法PSNR/dBTIME/smountaineagleparaglideplanecameramanLena1533.464333.3310933.402033.633933.92935 29.884329.4129330.172930.3013430.571155 28.234324.2119828.735128.6821428.77137526.924322.9817727.684927.5317127.84131535.054235.6311935.891936.043936.32935 30.354328.2632631.042931.2413431.541055 28.084325.4323728.505028.7214827.97137526.394323.4619226.834926.9512927.43121537.174437.9511137.252037.474337.96935 33.304233.0631934.133033.9215933.911155 31.164329.6922232.044931.9128531.89137529.544327.5219930.654830.3523230.88131537.994438.9011438.401938.224239.46935 33.444332.9332634.012933.9815434.541155 30.634427.6825431.804931.9426432.28137529.174326.0419430.284930.1120730.98121531.784432.0112631.932032.224032.8293527.734327.6634227.953028.1514628.84115525.644325.7125025.955026.1617826.90137524.104324.2325624.575024.7315025.03131531.564231.8612432.062032.033932.8193527.654427.8534228.012928.0910728.96105525.734425.8724826.154926.1311827.00127524.324424.5524824.934924.8311325.3812

4.2 验证算法边缘细节保持能力

为进一步验证提出算法对边缘细节的保持能力，本节通过对低分辨率(Low Resolution, LR)图像直接超分辨率(Super Resolution, SR)或先去噪后SR两种处理方式来研究和比较。选取尺寸为512×512的多组图像作为原始图像，通过下采样和高斯模糊仿真高分辨率图像退化到LR图像的过程，得到尺寸为256×256的低分辨率图像。

图4为当σ分别0.5、15和35时候，图像Barbara低分辨率图像利用Yang等[14]于2010年提出的ScSR算法直接超分辨率，与经过算法PCLR或本文算法去噪后再超分辨率得到的结果对比图。表2是这三种方式得到的PSNR及SSIM结果值。由实验结果可以看出，当噪声水平较低时，直接SR与去噪后SR相比，两种方式的结果对细节保持能力差别不大。而随着噪声水平的提升，直接SR虽然可以在一定程度上提高图像的分辨率，但是无法去除噪声带来的严重影响，且细节信息严重丢失，不利于后续图像处理与分析。先利用提出的算法对低分辨率图像去噪后再对图像SR，则既能够保持清晰的边缘又可以提高去噪图像的清晰度；且无论噪声水平的高低，从图4及表2均可以看出，提出的算法在定量结果PSNR及SSIM上都有更优表现，且细节的保持能力也更好。

图4 不同噪声水平直接或去噪后超分辨率结果

算法σ=0.5PSNR/dBSSIMσ=5PSNR/dBSSIMσ=15PSNR/dBSSIMσ=35PSNR/dBSSIM直接ScSR34.050.83632.030.68729.080.37727.940.162先去噪后ScSRPCLR33.450.80232.300.72931.150.63734.060.836本文算法34.220.87733.510.82532.070.71134.980.894

5 结语

为解决图像在去除噪声的同时容易丢失细节信息的问题，提出了一种基于自相似性的低秩稀疏去噪算法。该方法在学习阶段，利用基于马氏距离的块匹配方法将干净自然图像块分组，建立基于块组的高斯混合模型，从自然图像中学习NSS。基于块组的先验模型中各个高斯组件所包含的信息更丰富，在同等程度下，每种模式的学习数量更多，从而聚类效率更高，因此提出算法时间复杂度较低。然后利用基于块组的GMM先验模型引导噪声图像块聚类，考虑了目标图像块中稀疏的有用信息， 将噪声图像矩阵分为低秩矩阵、稀疏矩阵及噪声矩阵，通过保留低秩及稀疏信息提高算法保留细节信息的能力，最后通过最小化全局目标函数实现去噪。实验结果表明，提出的算法在PSNR、SSIM及时间运行的结果上都优于列出的其他算法，不仅去噪效果更好，而且能够有效地保持图像的边缘及纹理特征。提出的算法在图像复原、增强等诸多领域都具有重要的应用价值。

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