广东省肇庆市百花中学 (526020)

胡其华

数学学科核心素养包括：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析[1].这些核心素养既相互独立，又相互交融，是一个有机的整体，高考命题特点就是体现对这些素养的综合考察.空间立体几何则综合考察学生的直观想象、逻辑推理、数学运算和数学抽象素养，即运用几何直观和空间想象思考问题的意识，运用转化、化归思想寻求运算思路，选择运算方法的计算能力.立体几何的难点空间角和距离的计算，一般涉及三棱锥的体积、空间点到面的距离、空间直线到平面的距离、直线与平面所成的角[1]，恰恰也是大部分学生不能突破的瓶颈问题，虽然属于中等难度的题目，但学生得分并不理想.这些问题一般有两种方式进行处理，一种是借助空间直角坐标系，利用空间向量法，转化为向量的计算问题.另一种方法则是利用等体积法，进行转化，比如2015年广东卷、北京卷文科数学第18题，2013年上海卷理科数学第19题.等体积法的思想，虽然人教版的教材没有明确提出来，但是教师在讲立体几何知识时都会讲到它.追根溯源，初中数学的等面积法中就有所体现，这里不过是把它推广到立体几何的情形罢了，它的成功运用，会给我们带来一种“柳暗花明又一村”的感觉.

上面的四个作用归根结底都是通过转化为棱锥的体积进行计算，再用等体积法、解方程的思想化难为易，但是大部分中等水平的学生往往能知其名，却不能顺利玩转，致使这部分的分数大量丢失.通过调查分析，发现学生的运用误区有5个：(1)利用等体积法求体积时，三棱锥的顶点和相应的高选择不恰当；(2)误认为四棱锥也能用等体积法求体积；(3)线面垂直的证明不够熟练，导致求棱锥的高时出错，显得很盲目.这里包括对高的证明不详细，或者误认为棱锥的顶点在底面的射影一定落在底面三角形的内部.(4)棱锥的底面积计算出错或找不到恰当的方法，导致花了大量的时间来求面积.(5)线面距离、异面直线的距离、线面角到点面距离的转化中，顶点的选取不恰当.

针对以上误区，本文提出以下的解决策略.

1.熟练掌握常用的求三角形面积方法

为了直观，有必要时可将底面三角形的平面图单独画出来，再求面积.以下常见的求三角形面积的方法，学生务必熟练掌握.

S1=直角三角形面积，S2=等腰三角形面积，S3=正弦面积公式，S4=2SΔBCO.

2.重视线面垂直的证明，以便尽快找到三棱锥的高

文科生要特别重视线面垂直的证明，理科生还可以用空间向量法，以下是4个定理的推理模式：

(1)线面垂直的判定定理：l⊥m,l⊥n,m∩n=O,m,n⊂α⟹l⊥α

(2)线面垂直的性质定理：l⊥α,l∥n⟹n⊥α

(3)面面平行的性质定理：l⊥β,β∥α⟹l⊥α

(4)面面垂直的性质定理：α⊥β,α∩β=m,l⊥m,l⊂β⟹l⊥α

其中(1)-(4)两个定理的使用过程中，学生容易漏掉推理模式的部分条件，但是从题目条件是不难看出该选择哪个定理的.此外，还应充分使用题目中的长方体、正方体或直棱柱或棱形的对角线互相垂直等线面垂直、线线垂直关系.

3.熟练掌握几种常见的用等体积法求解的类型

线面距离、异面直线的距离、线面角都是通过转化成点面距离，再借助等体积法进行求解.对于初学者，在多种情况下的运用要结合实例借助问题串的设计帮助学生认知的推进和提升.在一轮复习时，我们主张回归教材，精心选择、设计典型习题，认真剖析，以达到难点的突破.其实，在高中数学必修2人教版A版第28页习题1.3A组第3题适合用来介绍等体积法的基本思想：计算三棱锥的体积与底面的选择无关.这里必须明确只有三棱锥改换了底面后还是棱锥.为了说明等体积法的应用，笔者对课后题进行了如下的改编：

图1

如图1，正方体ABCD-A′B′C′D′中，棱长为a.

(1)求三棱锥A′-AB′D′的体积；

(2)求点A′到平面AB′D′的距离；

(3)求直线BC′到平面AB′D′的距离；

(4)求AA′与面AB′D′所成角θ的正弦值.

问题串设计：(1)求三棱锥A′-AB′D′的体积时，底面ΔAB′D′的形状是什么？顶点A′在底面上的射影在哪里？因此三棱锥A′-AB′D′的高不知道的情况下，采用等体积法计算体积.如果用ΔA′B′D′作为底面，底面积怎么求？高是什么？根据又是什么？你能写出此三棱锥所有的底面和找到相应的高吗？(此处的设问很有必要，因为有时学生不能一次性找正确，比较之下，还能体验怎样找到最好的形式：底面面积好算，高比较明显.

(3)求直线BC′到平面AB′D′的距离时，线面位置关系应该是怎样的？能够证明吗？在证明了直线BC′∥平面AB′D′后，这样就将线面距离转化为点面距离，那么选择直线BC′上的哪一点呢？若选取点B，用等体积法列的方程如何？若选取点C′，用等体积法列的方程又如何？

图2

再如2013年高考数学上海卷理科第19题，如图2，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2.

(1)证明：直线BC1∥平面D1AC；

(2)求直线BC1到平面D1AC的距离.

此外，在平时评讲题目时，可以让学生写出图中所有的相关三棱锥的表示形式，再让学生对比各种表示形式尝试1求出各自的体积，深刻体会题目条件的题眼怎样准确地整合到图形中去，学生通过充分地思考，仔细地“玩转”，难点就不攻自破了.