帅晓飞 朱玉军 詹 旭

(1.中国兵器装备集团成都火控技术中心 成都 611731; 2.四川理工学院自动化与电子信息学院 四川自贡 643000; 3.西南科技大学信息工程学院 四川绵阳 621000)

0 引言

当雷达检测微弱目标时，常常需要目标积累时间远大于常规处理，然而运动目标在长的积累时间内可能跨越多个雷达距离分辨单元，会大大减弱积累后目标信噪比。通过Keystone变换[1-7]校正PD雷达的距离走动，然后进行相参积累，达到提高信噪比的目标。

但是Keystone变换使原来的矩形信号采样点变成了楔石(Keystone)形格式，需要对该楔石形格式的样本点插值成为矩形格式才能采用FFT进行后续的相干积累。这个插值过程就是Keystone变换的实现过程，若直接用插值方法从楔石形格式的数据得到所需的矩形格式数据，虽然只是一维变换，但运算量巨大。为了工程实际应用，必须探索运算量较少的实现方法。而主要常用的工程实际应用的Keystone变换实现方法：DFT+IFFT算法、Chirp-Z变换法、sinc函数内插法和三阶Lagrange内插法[1-7]。

本文在详细分析Keystone变换校正PD雷达回波中目标距离走动的原理基础上，介绍了四种常用的具体实现方法：DFT+IFFT的快速算法、Chirp-Z变换、sinc内插和三阶Lagrange插值；通过详细的理论推导证明了DFT+IFFT算法和Chirp-Z变换法的具体实现过程是相同的，并给出了上述三种不同实现方法具体运算量以及各算法的特点；最后，通过计算机仿真结果验证了这四种算法的性能。

1 PD雷达回波模型与Keystone变换原理

设PD雷达载波中心频率为fc，发射信号为：s(t)=p(t)exp(j2πfct)，其中p(t)表示基带信号。

考虑速度为v的匀速运动目标，其雷达回波信号下变频后：

(1)

对式(1)沿快时间维作傅里叶变换得：

(2)

(3)

将式(3)所示的Keystone变换代入式(2)，得到：

(4)

至此，距离走动得到了有效补偿。

2 Keystone变换实现方法

对于式(3)所表示的Keystone变换中的距离频率及慢时间都是以连续变量表示的，而在实际数字信号处理中是需要离散化处理的。为了便于工程实现，国内外许多学者给出四种实现算法[1-4]，本文经过仔细地推导比较发现其中两种实现算法是相同的，只是推导的物理过程不同而已。

2.1 DFT+IFFT算法[2]

由(2)式到(4)式变换中，主要涉及到五个变量及其离散采样，分别是快时间t(k)、快时间(距离)频率f(l)和慢时间τm(m)、虚拟慢时间τn(n)及虚拟慢时间频率fτ(n′)。并设快时间和快时间频率的采样点数目都为L，慢时间和虚拟慢时间及其频率的采样点数都为N。为了完成Keystone变换，对离散化的式(2)作二次离散傅里叶变换，具体地可以表示成

(5)

式(5)中，U′(l,n)并不一定精确等于式(4)所示的U(f,τ)的采样值，因此用另一个符号表示。在上述步骤中，第一次DFT由于是变尺度的只能采用DFT，因为需要对所有距离频率逐个计算M点DFT，其运算量比较大。为此，通过代换可用一种快速算法代替这个DFT运算。式(5)中括号内的式子又可以表示为：

(6)

上式后面求和部分可作如下变换：

(7)

经过式(6)和(7)的换算，式(5)表示的Keystone变换实现方法就可避开DFT而以FFT和点乘代替，大大提高运算效率。

2.2 Chirp-Z变换算法[1,3]

(8)

计算时沿z平面上的一段螺线做等分角的抽样，记为：

zk=AW-k，k=0,1,…,M-1

(9)

上式中，M为所要分析的复频谱的点数；A=A0exp(jθ0)，A0,θ0分别表示起始抽样点的矢量半径长度和相角；W=W0exp(jφ0)，W0,φ0表示螺线的伸展率和两相邻抽样点之间的角度差。当M=N,A=1,W=exp(-j2π/N)时，式(9)就是DFT了。

(10)

事实上，式(10)正是式(5)中DFT部分，因此，Chirp-Z变换与DFT+IFFT变换两种Keystone实现方法是完全相同的，即这两种方法等效，本文将这两种实现方法都称为变尺度变换法。

2.3 sinc函数内插法[4]

另一种常用的Keystone变换实现方法为内插法，即每一个变换后的U′(l,n)值借助邻近几个慢时间离散取值点U(l,m)插值得到。内插方法很多，本文选用两种较常用、效果也较好的：sinc内插法和三阶Lagrange插值法。

插值就是待插值的样本与内插核函数加权求和的一个过程。sinc内插法的公式可以表示为：

(11)

2.4 三阶Lagrange内插法[5]

(12)

(13)

Lagrange插值方法具有整洁的结构，在理论研究和分析中很方便。事实上，常用的线性插值、二次插值都属于Lagrange插值。然而，高阶的Lagrange插值运算量很大，也存在严重的Runge现象，不利于实际运用。所以本文考虑三阶Lagrange插值即取待插值处周围的四个点对该处的值近似。

具体到公式(4)，令

ym=U(l,m)，xm=tm=mTr，I=4则可得对应的插值公式。对于n=0,1,…,M-1，找出满足τm≤tn≤τm+1的序号m，并记τm-1,τm,τm+1,τm+2分别对应公式(12)中的x0,x1,x2,x3，此时，U′(l,n)可以表示为

U′(l,n)=U(l,m-1)l0(τn)+U(l,m)l1(τn)

+U(l,m+1)l2(τn)+U(l,m+2)l3(τn)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

由以上推导结果不难得出，当样本个数较少时，由于边沿效应，插值后再相参积累的效果不理想。因此，三阶Lagrange插值不适合样本数较少的情况。

2.5 计算量分析[5]

设距离频率域采样点数为L，一个CPI内的脉冲数为M，M′为大于等于2M-1且为2的整数幂的最小正整数，通常为了后续相参积累的方便，M为2的整数幂，因此M′=2M。则对于以上三种Keystone变换实现方法：Chirp-Z变换、sinc内插法、三阶Lagrange插值法在每一个距离频率点上的运算量分别如下：

1)Chirp-Z变换：(2M+M′)点复数乘+3次M′点FFT+M点FFT。

2)sinc内插：M2点复数乘。

3)三阶Lagrange插值法：20M点实数乘+4M点复数乘。

由上述分析可见，当M较大时，Chirp-Z变换和三阶Lagrange在实际工程中实现起来比较容易些，而sinc内插法运算量稍大，实现起来相对困难些。

3 仿真结果

仿真参数：雷达发射线性调频信号，信号带宽为10MHz，时宽为10μs，雷达载频为10GHz脉冲重复频率为1kHz，目标径向速度为1000m/s，回波脉压前信噪比为-10dB，目标初始距离1.2km，CPI积累脉冲个数为256个。未进行Keystone变换时一个CPI内回波在脉冲间跨越了17个距离分辨单元。其数据对应的MTD积累结果如图2所示，目标能量就分散在了相邻多个距离单元内。

将图1所示的数据分别进行第2节所述的三种Keystone变换实现方法得到的仿真结果分别如图2、3、4所示：

图2、图3和图4的结果表明，sinc内插、Lagrange插值和chirp-Z变换都能有效实现Keystone变换，能校正目标回波间的距离走动使MTD积累结果获得更高的信噪比，有利于弱目标的检测。

特别需要说明的是，在这一小节的仿真过程中，积累脉冲个数是256，可是当积累脉冲个数低于32，比如16时，Keystone变换后积累增益并不明显，获得的性能增益有限。

4 结束语

本文主要针对脉冲多普勒体制雷达中高速目标造成目标在回波中距离走动而使目标的相参积累效果严重下降的现象，研究了一种有效的校正距离走动的Keystone变换，主要对Keystone变换的实现方法进行了详细讨论，给出了每种实现方法的理论推导、具体实现步骤及计算量。仿真结果进一步验证了每种实现方法的有效性。

鉴于Chirp-Z变换实现方法可以利用FFT实现，而FFT在DSP开发软件中有标准、高效的库函数，因此，Chirp-Z变换方法实现Keystone变换最易于工程实现。