石无鱼

我们一辈子都少不了要跟数打交道。我们对数的认识也随着知识的增长不断扩大，从自然数到整数、有理数，再到实数、复数。

虽然数有无穷无尽个，但并不是所有的数的重要性和知名度都是等量齐观的。比如，相较其他一些数而言，圆周率π就比较特殊，对于我们也更重要些。

那么，在数的王国里，除了π还有哪些也比较特殊呢？特殊在哪里？为了让你“尝一脔而知一镬之味”，我们将从中拣出几个，作简单介绍。

零：一个不是数的数

零当然是数，但要是较真起来，也可以说它不是数。为什么这么说呢？你不妨试想：数最早发明出来是用于数东西的；数为零，意味着没东西；既然连东西都没有，你还数什么呢？

有证据表明，人类在五千年前就学会计数了，但零的历史却要到公元前1800年的巴比伦人手里才开始。对于巴比伦人，零还不是一个独立的数，它仅是一个占位符。比如说101和11，要是中间没个0占位，就区别不开来。对巴比伦人，零的作用仅止于此。当时，他们用两个斜对角的箭头来表示零；我们后来熟悉的卵圆形符号“0”要到公元800年左右才出现。

零作为一个独立的数，要归功于古印度数学家，是他们第一个意识到，独立于计数的具体对象，数可以作为抽象物而存在。撰写星相学文献《婆罗门笈多》的古印度天文学家，在书上画了一条数字线，上面就包含了正数、负数和零。

零是一个独立的数的想法，在西方很晚才被接受。被接受的部分原因是，零是通向负数的必经“门户”，而负数在记账的时候（比如记欠账或亏损）是无论如何绕不开的。到了19世纪末，当西方数学家对数学的基础感兴趣的时候，零作为数的地位就更巩固了。在意大利数学家皮亚诺建立的算术体系中，他的第一个公理是：零必须是一个数。因为零是划分正负数的“界线”，要是零不是一个数，你如何能跨越这个界线，对一个正数和一个负数执行运算呢？

零作为数的地位确定下来后，在定义“数是什么”这个问题上，它还扮演了更大的角色。数是什么？这个问题真好比“你不问的时候，我知道，你一问，我就糊涂了”。但数学是讲求精确和严格的。目前，对这个问题最满意的回答来自集合论。集合的概念首先是由康托在1874年提出来的。一个集合就好比一个抽象的数学“容器”，里面可以“装”各种“元素”。比如说，一个包含有7个元素的集合，里面的元素既可以是《白雪公主》里的7个小矮人，也可以是一星期的7天。但数学家问的问题总是怪怪的，他们不问里面装了什么东西，他们现在问：数7是什么意思？如何严格地定义数？

结果，他们还真找到了一个妙招。至于这个锦囊妙计是什么，我们把它留在拓展阅读里。

欧拉数：为什么利息不会无止境地增加？

你在银行里存1元钱，如果年利率是100%，那么一年后你将得到2元。这很简单吧。但是，假如银行不是在年底一次性结算利息的，而是逐月或逐日，甚至逐秒计息的呢？你会不会以为，由此一来你一年内得到的利息将大到无穷无尽，让你一辈子花不完？天下当然没这么美的事！这里涉及到数学上另一个最重要的数——自然对数的底数e。

假设银行每年付两次息，这样，半年的利息降到了50%。这会使你的1元钱在6个月后变成1.5元；后半年，你的本金就不再是1元，而是1.5元了，到年底你将挣得后半年的利息0.75元；最后结算，你的1元钱一年之后变成了2.25元。如果你有兴趣按逐月复利递投的方式计息，你最终会得到2.61元。要是逐日复利递投呢，将得到2.71元。如果按逐小时、逐分、逐秒计息，收益虽然会不停增加，但增加的幅度越变越小，最后将停留在2.71828……左右。

这个数实际上是一个无理数，就像π一样，小数点后面跟着无穷多个数字，而且不可循环。该数以瑞士数学家欧拉的名字命名，称为欧拉数，简称e。

欧拉数并不仅仅在计算复利时才出现。例如，与虚数i一起用，你可以得到一个有史以来最著名的方程——欧拉等式：eiπ + 1 = 0。这个等式中，塞进了五个最重要的数0、1、e、π、i，数学家对它的美至今赞叹不已。

欧拉数的实际应用也非常广。例如，实验人员经常要用X射线衍射来揭示分子结构（历史上DNA的双螺旋结构就是通过这种办法发现的），对衍射图案的分析需要用到一项称作“傅里叶分析”的数学技术，而傅里叶分析又离不开欧拉数。

此外，还有一点是非常特殊的：对函数ex进行积分或微分，你得到的依然是它本身ex。这在函数里是绝无仅有的。

黄金分割数：

它真的是最美的数吗？

你可能已经听说过斐波那契数列，即数列中下一个数是前两个数之和的数列：1， 1， 2，3， 5， 8，13……。这里有一点有意思的东西：每个数和它前面一个数的比值，将越来越趋近一个特定的值，它最初的几位是1.618。

这个数叫黄金分割数。你还可以通过其他办法得到它。比如画一条正五边形的对角线，对角线与边长的比值，也是黄金分割数。

你要是到网上搜索一下，会发现围绕这个数有很多似是而非的说法，比如有人声称古希腊的建筑就展现了这样的比例；还有人说，人的脸部比例要是符合黄金分割，会更好看。

是不是真这样呢？古希腊的建筑师或许已经发现黄金分割，并在建筑时有意识地加以利用，但后人要确凿地证明这一点并不容易。你或许会说，去测量一下古希腊建筑的遺迹不就知道了吗？但是，一座建筑的部位有那么多，你打算测量哪个呢——你要是绞尽脑汁找这个比例，你总是能找到的，但这说明不了问题。

脸部线条趋近黄金分割比例是否一定比偏离黄金分割比例更美？这也不好妄下结论。因为美是无法严格定义的，而且怎样才算美，在历史上也不是一成不变的。

葛立恒数：

大到全宇宙都写不下

数有无穷多个，我们一般只跟它们中较小的打交道，对于绝大多数数，人类恐怕从来没有接触到过。

但在上世纪70年代，美国数学家罗纳德·葛立恒所从事的一项工作后来证明与之打交道的数非常大。他试图解决一个与更高维度的立方体有关的问题，当他最终得到解答的时候，发现答案涉及到的数如此之大，以至我们没法将它写下——假如按A4纸的厚度，一页写2000个数字的话，整个宇宙空间都不够写！

不过，还是有方法让你略知这个数是多少的。例如，对于3×3×3，一种更简洁的写法是33（或3^3），意思是“3个3的乘积”，结果是27。

我们还可以用箭头记号↑来表示，把3^3记作3↑3。3↑↑3表示3^（3^3），即327。这个数大约是7.6万亿。

如果再添加一个箭头，3↑↑↑3（即3的327次方），幂上有幂的结果是让这个数大到难以置信的地步。而所谓的葛立恒数，是3↑↑……↑3，中间有64个箭头。它大到整个宇宙都不够写的程度！我们只知道它的个位数字是7。

274，207，281-1：

密码学上用到的数

2的74207281次方减1，这是目前已知的最大素数。这个数有2200多万位。它不仅是素数，还是一个梅森素数。所谓的梅森素数就是可以表达成2 n-1的素数。

其他的梅森素数还有3和31，但找到更大的梅森素数并不是一件容易的事。迄今，我们只找到49个梅森素数。尽管数千年前，人类就知道素数有无穷多个，但梅森素数是否也有无穷多个，我们至今还不清楚。

你也许会说，这都是些数学家们的游戏，跟我们毫不相干。错了，如果没有这些非常大的素数，这个世界会很不一样。因为目前金融交易的加密技术都有赖于素数；没有可靠的加密技术，人类的经济活动将受到严重干扰。

用素数加密的步骤是，接收方将两个大素数相乘，然后用这个积经过一套复杂的处理，得到2个被称为“公钥”的数。接收方把公钥传给发送方。发送方用公钥对信息进行加密，再传回接收方。接收方收到密文后，须用原先相乘的那两个素数（它们本来就是接收方提供的）来解密破译。

让两个素数相乘，对于电脑是很容易的事情，但如果乘积足够大的话，要把它还原回两个素数，那计算量就非常大了。窃听者即使截获公钥和密文，但由于他们不知道最初相乘的素数是哪两个，他们也会一筹莫展。

i：虚数

数学上说，两个正数的乘积是正数，两个负数相乘积也是正数。那么，什么数的平方是-1呢？答案是虚数 i。

第一个把负数的平方根称为虚数的，是法国大数学家笛卡尔。但直到18世纪，数学家才发明用 i 来表示-1的平方根。

虚数无法出现在一般的数轴上，所以数学家另设了一条虚数轴，与原来的实数轴相交于0。这样，虚数就可以在二维的平面上表示出来。虚数在描述交流电或在量子力学上描述波函数时很有用。

循着数学家发明虚数的先例，1843年爱尔兰数学家哈密尔顿又发明了四元数，即在复数的基础上又添加了两个独立的维度。四元数一般可表示为a + bk + cj + di，其中a、b、c 、d是实数。如果复数可在二维平面上表示出来，那么四元数需要在四维空间才能表示。按这条思路，其实还可以创造八元数、十六元数……

李雅普诺夫指数：

长期天气预报之不可能

气象部门虽然可以预测明天、后天的天气，但要想预测下个月的天气，几乎是不可能的，所以你手机上的天气预报APP，最多只给你显示未来一周的天气。

长期的天气预报之所以不可能，是因为大气系统对于初始条件非常敏感。19世纪下半叶，俄国数学家亚历山大·李雅普诺夫发明了一个指数来衡量一个系统对其初始条件的敏感程度。例如，请想像一下扔一个球。如果你知道扔的角度和速度，就可以计算出球会落在哪里。预测准确度可以好到无需考虑像空气阻力等次要因素的影响。即使你测量球的出射角度有点偏差，也关系不大。这说明，球的运动对初始条件是不敏感的。这种情况对应的李雅普诺夫指数是0，或者可能是负值。

何种情况算对初始条件敏感呢？还是以扔球为例。倘若在地面上以同样的速度抛掷一个球，你以30度角抛出去，最高只能抛到一棵树的高度，但以30.00000001度抛出去，却抛到太空的高度了（当然，这只是假设）。一亿分之一度的微小差异，却造成如此悬殊的结果。这就是对初始条件敏感的一个例子。数学家把这类系统称为混沌。

一个系统的李雅普诺夫指数高于零，就是不可预测的。天气就是一个很好的例子，因为初始条件（例如气压或温度）的微小差异，会随着时间的推移呈指数式增长，就像美国气象学家说的，“一只蝴蝶在巴西轻拍翅膀，可以导致一个月后在美国德克萨斯州起一场龙卷风。”而要把初始条件测量绝对准确，又非人力所及，这就让预测失去了意义。

拉普拉斯极限：为什么我们不会被甩出太阳系？

1609年，伟大的天文学家开普勒出版了一本名为《新天文学》的书。书中的一个结论对当时的世人可谓一枚重磅炸弹：行星绕太阳的轨道不是完美的圆形，而是椭圆形的。

这个结论被随后的观测所证实，所以接受起来倒也不难，但做出这一预言的核心——开普勒方程，却让很多天文学家晕头转向。

该方程描述的是从任意起始点开始，天体运动的坐标与时间的关系。但要求得位置解，却非常棘手。数学家花了150年的时间才找到解决这一问题的方法。这个费力的过程涉及一长串的数学表达式，称为“級数展开”。然后，法国数学家拉普拉斯证明，当天体的轨道太扁时，这一方法将会失效。

数学上用偏心率来衡量一个椭圆偏离标准圆有多远。圆的偏心率为0，偏心率越大，椭圆越扁。拉普拉斯发现，对于偏心率大于0.66的行星轨道（现在称为“拉普拉斯极限”），该方法求得的解已不再是椭圆，而是开放的曲线。

这意味着偏心率越高，轨道越不稳定。幸运的是，地球轨道的偏心率只有0.02。离太阳越远的天体，通常具有更高的偏心率，比如冥王星的偏心率是0.25。

对于彗星那样有着极高偏心率的天体，它们时而靠近太阳，时而扎进太阳系中最冷的边缘地区。我们当然谁都不想地球也这样。

无穷大：

与有限性质迥然有别

“亿！”

“亿亿！”

“无穷大！”

“无穷大加一！”

……

你在孩提时一定跟同伴玩过看谁报出的数最大的游戏。对于我们生活的这个平凡的世界，恐怕没有比无穷大的存在更离奇、更另类的了。在物理学上，当计算涉及无限大的时候，多半是理论出了问题，令物理学家不得不回头修改理论。历史上，量子论的提出就肇始于计算黑体辐射时出现的令人困惑的无限大。

不过，无穷大的事物并不意味着不存在。例如，黑洞中心的奇点，其密度就是无穷大，但黑洞的存在已经越来越成为不争的事实（当然，也有人一直坚持认为可以通过量子引力理论来消除奇点密度的无穷大，可惜这样的量子引力理论目前还不存在）。

在数学上，研究无穷大的数学分支是集合论。对无穷大的研究，揭示出它有许多不可思议的特征。

不妨考虑一下德国数学家希尔伯特在1924年提出来的一个让人头疼的问题：想象一个旅馆里有无穷多个房间，房间里都住满了人。现在，又来了一群无穷多的新客人。旅馆该如何处理？

换成你，或许会打出“本店今日已满员，恕不接待新客”的牌子，但希尔伯特却说，依照他的办法，包你能把所有新客人都安排住下。办法是这样：把1号房间的客人挪到2号，把2号房间的客人挪到4号，把3号房间的客人挪到6号，依次类推，把n号房间的客人挪到2n号；这样下去，所有奇数号房间都空出来了，你就可以把新客人安排住进去。如果再来一群无穷多的客人，你依然可以如法炮制。这意味着，一座有着无穷多房间的旅馆，尽管已经住满了人，却依然能够接纳无穷多的新客人。

这仅仅只是无穷大不可思议的特性之一。此外，还有诸如“部分可以等于整体”“一些无穷大似乎比另一些无穷大还要大”等等。说实话，对于这些有悖常理的特征，即便使用集合论研究起来也是一头雾水。

至此，我们已大致领略了数王国里一些特殊而奇妙的数。有些涉及天文，有些涉及金融，有些涉及审美，有些涉及密码术……其实，倘若结合科学人文的各个领域，那么数王国里几乎每个数都能找到其不平凡之处，但限于篇幅，我们就不一一细说了。

拓展阅读

如何定义数？

我们迄今对数的最好描述涉及数学上的集合论，尤其是空集的概念。像一个空文件袋一样，一个空集意味着里面什么都没有，所以这是独一无二的，也是最容易定义的。我们把0定义为空集。

有了空集，就容易定义其它数了。按集合论的观点，一切数学对象，包括集合本身，都可以成为集合里的元素。我们定义1是这样一个集合，它的元素只有一个空集，用集合论的符号表示，就是{空集}。定义2是{空集， {空集}}，3是{空集， {空集， {空集}}}……这样，整个自然数列都可以通过空集构造出来。

本福德定律

本福德定律说的是，一些与自然现象或人类活动有关的数目列表中，从0到9出现的概率有一定的分布规律。比如说，假如你对世界各地河流的流域面积做个列表，或检查一个公司的账目，不论采用什么度量单位，你会发现以1开头的数总是要比以其他数字开头的数多。然后第二多的是以2开始的数，第三多的是以3开头的数，如此等等。以1开头的数占大约30.1%，只有大约4.6%的数是以9开头的。

这一规律最初是由一位天文学家在19世纪提出来的。他在检查人们使用的对数表时，意外地发现对数表中所有数以1起首的那几页相较其他页破烂，说明这几页人们用得最多，与人类的活动关系最密切。后来，在1930年代，这条规律被美国工程师弗兰克·本福德重新发现。

为什么会有这样一条定律，至今还没有一个满意的解释。考虑到自然界中一些随机的过程，譬如分子、原子的无規则运动，它们所产生的分布曲线是钟形的，概率最大的往往是那些中间值，那就更奇怪了。

本福德定律虽然只是一条经验定律，但在某些方面很有用。譬如，美国国税局曾用它识破了一些公司为逃税而临时拼凑的财务账本上的破绽。2009年在某国的选举中，一名候选人的得票数计分在很多选区都以7开头，这引起人们的怀疑，最后查明这次选举存在舞弊。