■湖北省襄阳市田家炳中学 梁 锐

应用一：利用正(余)弦定理解三角形

解析：设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c,由余弦定理得:

在△ABD 中,因为AD=BD,所以∠ABD=∠BAD,∠ADB=π-2B。

点评:正、余弦定理的应用原则:

(1)解三角形时,如果式子中含有角的余弦或边的二次式,要考虑用余弦定理;如果式子中含有角的正弦或边的一次式时,则考虑用正弦定理;以上特征都不明显时,则要考虑两个定理都有可能用到。

(2)三角形解的个数的判断:已知两角和一边,该三角形是确定的,其解是唯一的;已知两边和一边的对角,该三角形具有不唯一性,通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断。

应用二：利用正(余)弦定理判断三角形形状

例2 已知△ABC的内角A、B、C所对的 边 分 别 为a、b、c,满 足 tanA=

(2)若a+c=bcosC+3bsinC,试判断△ABC的形状。

解析：(1)由余弦定理知得b2+c2-a2=2bccosA。

(2)a+c=bcosC+3bsinC ,由正弦定理知sinA+sinC=sinBcosC+3sinBsinC。

而A=π-(B+C),故sinBcosC +cosBsinC+sinC=sinBcosC+sinBsinC 。

点评:第一问结合余弦定理,得到角A的三角函数值从而求出A的大小;第二问先由正弦定理得到cosBsinC+sinC=sinBsinC ,再化简得到角B,根据第一问求得的A,得到三角相等,可以知道三角形为等边三角形。

应用三：利用正(余)弦定理解决与三角形面积有关的问题

例3 设△ABC的内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,且cosB=,b=2。

(1)若A=30°,求a;

(2)求△ABC面积的最大值。

例4 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且b(1-2cosA)=2acosB。

(1)证明:b=2c;

(2)若a=1,tanA=22,求△ABC的面积。

解析：(1)因为b(1-2cosA)=2acosB,所以由正弦定理得sinB(1-2cosA)=2sinAcosB,即sinB=2sinAcosB+2cosAsinB=2sin(A+B)=2sinC,故b=2c。

(2)与面积有关的问题,一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化。

方法与规律小结

1.三角形中常见的结论：

(1)A+B+C=π。

(2)在△ABC中,A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B⇔cos A＜cos B。

(3)任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边。

(5)在△ABC中,A,B,C成等差数列的充要条件是B=60°。

(6)△ABC为正三角形的充要条件是A,B,C成等差数列且a,b,c成等比数列。

2.判定三角形形状的两种常用途径：

(1)通过正弦定理和余弦定理,化边为角,利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断;

(2)利用正弦定理、余弦定理化角为边,通过代数恒等变换,求出边与边之间的关系进行判断。