吴 磊， 杜群贵， 肖龙帆

(华南理工大学 机械与汽车工程学院，广州 510640)

瓦楞机械是一个竞争激烈的行业，由于国内包装机械起步较晚，所以瓦楞生产线还不是很成熟，瓦楞机作为瓦楞纸板生产线的关键机器，被越来越多的学者所研究，而光辊作为瓦楞机上的关键一环，对瓦楞原纸和瓦楞芯纸的粘合起到关键的作用，随着瓦楞机械向着低克重、高强度[1]、高速化发展，振动噪声大，瓦楞原纸和芯纸不能很好的粘合等问题开始频频出现，振动不仅影响瓦楞纸板的成型质量，也降低了瓦楞机的使用寿命[2]。

随着对光辊机构的要求越来高，很多学者开始了对光辊机构的静力学和动力学研究，从研究光辊和上瓦楞辊的中心距变动[3]到研究光辊机构的振动特性[4]，再到对光辊机构动力学[5]不同方法的研究，为光辊机构的结构优化提供理论依据。本文主要研究某特定型号的单面瓦楞机光辊机构振动特性，该光辊机构提供了一种新的思想，不仅由皮囊气缸为光辊提供力的作用，而且增加了一个杠杆机构，由电动推杆通过杠杆机构对光辊进行微调，合理的结构设计再加上合理的刚度，很大程度上减小了光辊的振动。

1 新型光辊机构动力学分析

1.1 光辊机构运动模型

光辊是瓦楞机中最重要的机构之一，主要作用是为成型的瓦楞芯纸和面纸粘合提供力的作用，然而，如果光辊和上瓦楞辊不能很好的接触，或者光辊振动过大，都会对瓦楞芯纸和面纸的粘合造成一定的影响，因此，需要对光辊机构进行运动分析。瓦楞机工作原理图,如图1所示。

由图1中构件1～4组成光辊机构完整模型，光辊由光辊支架铰接，可以看做简支梁，支架两端的皮囊气缸为光辊提供力的作用，可以将皮囊气缸看做一个弹簧阻尼系统，其刚度可以等效为K1，而电动推杆通过顶杆对光辊进行微调，顶杆与偏心销的接触可以看做弹簧阻尼系统，其刚度可以等效为K2，电动推杆也可以看做一个弹簧阻尼系统，其刚度可以等效为K3，如图2所示。上瓦楞辊转动，在光辊的压力下，瓦楞原纸和芯纸啮合在一起，而上瓦楞辊的转动使光辊上下跳动，光辊和上瓦楞辊的接触可以看做弹簧阻尼系统，其刚度可以等效为K4。

1-电动推杆;2-顶杆和销;3-光辊;4-皮囊气缸;5-油缸;6-上瓦楞辊;7-皮囊气缸;8-下瓦楞辊

图1 瓦楞机原理图

Fig.1 The theory graph of corrugating machine

图2 摆杆机构简化模型Fig.2 The simplified model of the swing-rod mechanism

本文主要是研究光辊机构的振动特性，因此将光辊机构单独拿出并进行简化得到图3光辊机构简化模型，即将顶杆、销、摆杆和电动推杆等效为一个弹簧-阻尼系统，K*为电动推杆、顶杆和摆杆的等效刚度，根据能量守恒定律，即可得到等效的弹簧-阻尼系统的等效刚度。因为光辊机构两端支架是相互独立的，所以建立的模型具有两个自由度，分别是两个光辊支架的转角θ1和θ2，实际工程中，光辊机构运动时，两边的支架并不是同步的，如果光辊机构振动过大，或者运动不均匀，都会造成瓦楞纸不能顺利成型，因此，研究光辊机构振动特性是非常有必要的，由图3光辊机构简化模型建立数学模型。然而顶杆和偏心轴并不是一直接触，上瓦楞辊和光辊也并不是一直接触，因此刚度K2和K4是非线性变化的，光辊机构动力学模型的求解变为非线性问题。

由图3所示，光辊摆杆机构上的力对其固定支点的合力矩为零可得

K1L1x1=K2L3x2-FL2

(1)

1-光辊;2、5-皮囊气缸;3、6-支架;4、7-顶杆、偏心销和电动推杆等效结构;8-光辊和上瓦楞辊的啮合

图3 光辊机构简化模型

Fig.3 The simplified model of pressure roller mechanism

由电动推杆、摆杆和顶杆组成的摆杆机构上的力对其固定支点的合力矩为零可得

K2L4x2=K3L5x3

(2)

根据系统能量守恒定律有

(3)

又因为等效光辊摆杆机构到固定支点的力矩为零，即

(4)

由式(1)～(4)可知电动推杆、顶杆和摆杆的等效刚度为

(5)

1.2 光辊机构数学模型

对简化的模型运用拉格朗日函数方程求解，拉格朗日方程[6]的一般形式如下

(6)

式中:L=T-V，T为系统总动能，V为系统总势能，qi为系统广义坐标，Qi为与广义坐标qi相对应的非保守力。

光辊动能为

其中，M1为光辊质量，J1为光辊转动惯量，

支架3的动能和势能为

其中，J2为支架3的转动惯量

支架6的动能和势能为

其中，J3为支架6的转动惯量

光辊和上瓦楞辊接触等效弹簧7的势能为

将以上计算得到的动能T和势能V代入式L=T-V中可得

(7)

将式(7)代入到拉格朗日方程一般形式(6)中，并将等效刚度式(5)代入其中，方程写成矩阵形式如下

化为标准形式可得

(8)

其中，M(t)为上瓦楞辊对光辊产生的激振力，而

2 光辊机构的振动特性

2.1 光辊机构的固有频率

固有频率，反应了机构的固有特性，当激振频率等于固有频率时，就会发生共振，因此研究机构的动力学特性，首先就要研究其固有频率，避免共振情况的发生。对于某型号的单面瓦楞机，在计算光辊机构固有频率时，非保守力Qi为0，式(8)变为

求解上述方程式可得光辊机构固有频率为

(9)

根据图3将光辊机构具体参数列表,如表1所示。

将光辊机构具体参数代入固有频率计算式(9)中可得

即

将光辊机构固有频率代入振动标准方程计算得到主振型为

由主振型可以得知，当系统做第一阶主振动时，光辊两端的支架做同向运动，此时光辊上下平动，而当系统做第二阶主振动时，光辊两端的支架做异向运动，此时光辊做转动运动。

表1 光辊机构实际参数Tab.1 The actual parameters of the pressure roller mechanism

2.2 非线性模型的求解

光棍机构在运动的过程中存在非线性振动，非线性模型的求解[7-9]过程比较复杂，一般来说有以下几种方法：正规摄动法、多尺度法和线性平均法等。结合本文光棍机构的模型，第三种线性平均法是最简单的方法，模型中非线性的因素是K2和K4，所以在计算非线性模型时，只需要将刚度矩阵线性化，质量矩阵不变。在不考虑材料非线性的情况下，刚度矩阵中的K2和K4不等于零，由于角位移而导致的刚度非线性如下所示

其中xe为顶杆的预压缩量，xf为光辊和上瓦楞辊接触时变动最大值，为便于后续对刚度进行线性化计算，令振动角位移x=Acos(φ)，其中A为幅值，刚度K2和K4可表示为

由线性平均法可知，刚度K2和K4的等效刚度为

即

3 实 验

上文中已经对光辊机构的模型做了理论分析，现对工程实际中具体型号瓦楞机中的光辊机构进行振动测试实验，使用X测试仪和相关匹配振动加速度传感器，对光辊机构做振动测试实验时，加速度传感器安装在光辊的支架上靠近光辊的位置，通过调节瓦楞机的线速度，使光辊和上瓦楞辊的啮合频率呈现均匀增加，在每个频率点采样2 s，采样频率51 200 Hz，将采样的数据传递到电脑中，在labVIEW[10]中显现出来，采样频率稍微高可以使测得的实验数据更加准确，利用测得的实验数据与建立的数学模型得到的数据进行对比分析，验证建立的数学模型的正确性，因为受实验条件的限制，没能在低速的情况下对光辊机构进行振动测试，而且低速情况下，因为速度比较低，光辊机构的运动并不会受太大影响，瓦楞芯纸和面纸也能够较好的粘合，而瓦楞机高速运动情况下，光辊和上瓦楞辊的接触因受到光辊振动的影响使瓦楞芯纸和面纸不能很好的粘合，因此，本文主要对较高速情况下光辊机构振动进行分析。在瓦楞机正常运行速度范围内对光辊机构做振动测试实验，得到一系列瓦楞机不同运行速度下光辊机构振动峰值，根据文献[3]可知，光辊机构在瓦楞机不同运行速度下的激振频率为wj=wz/120πR，其中w为瓦楞机线速度，z为上瓦楞辊齿数，R为上瓦楞辊半径。

依据振动测试数据作图4，其中横坐标为光辊机构的激振频率，纵坐标为光辊机构加速度的峰值。

图4 振动测试加速度峰值Fig.4 The graph of the peak value of the vibration testing acceleration

由图4可知，在测试的瓦楞机运行速度范围内，光辊机构的振动加速度幅值随着激振频率呈先减小后增大再减小的趋势，在此范围内，加速度第一次出现峰值是在测试的最小激振频率之前，而出现振动峰值的原因很有可能是因为共振，即光辊机构的一阶固有频率和激振频率接近造成的，由于实验条件的限制未能测得低速下光辊机构的振动，因为低速下光辊机构的振动不会对瓦楞纸的成型造成影响。当瓦楞机线速度在110～210 m/min区域时，光辊机构的振动加速度幅值随着瓦楞机线速度呈先增大后减小的趋势，此时加速度第二次出现峰值，并在160 m/min时，即激振频率为331 Hz时，呈现最大值，振动最激烈，而建立的光棍机构非线性数学模型得到的二阶固有频率326.06Hz与此时的激振频率非常接近，可以断定，瓦楞机线速度在160 m/min时，激振频率为331 Hz时，出现共振，幅度较大。因此，着重研究光辊机构振动加速度第二次出现峰值的情形，在此线速度下，对采集的加速度信号进行傅里叶变换(FFT)、细化分析[11]，如图5所示。

(a) FFT变换

(b) 细化图形图5 加速度信号频谱分析Fig.5 The spectral analysis of the acceleration signal

如图5所示的FFT变换分析采样点数为51 200个，细化的中心频率为329.9 Hz，经傅里叶变换和细化分析，由图5可知，当频率为329.9 Hz时，光辊机构振动最大，此时的频率和激振频率、光棍机构二阶固有频率基本一致，可以预断，在此线速度下发生了共振。

4 结构优化

为了避免出现共振，对光辊机构提出改进方案，由式(9)可知，增大顶杆和销的刚度K2以及电动推杆的刚度K3，增加顶杆到固定支点的长度L3和电动推杆到固定支点的长度L5，以及减小长度L4，可以增大光辊机构的固有频率，达到避免共振的效果，根据实际工程要求，长度L4和L5只能在有限的范围内变动，而顶杆到固定支点的距离L4受到偏心销的限制，为了保证刚度需求，长度L4大于等于18 mm，电动推杆的刚度K3受到选型的限制，为了节约成本，又能达到工程要求，选型电动推杆最大为3吨推力电动缸，而增大偏心销和顶杆的直径就可以容易的调节刚度K2，在MATLAB中作出光辊机构非线性求解的固有频率随着K2变化而变化的图，如图6所示。

图6 光辊机构固有频率随着K2变化图

Fig.6 The natural frequencies of the pressure roller mechanism vary with the value ofK2

由图6可以看出，随着刚度K2的增大，光辊机构一阶和二阶固有频率不断增大。某机型瓦楞机在正常工作情况下运行速度不会超过300 m/min，其对应的激振频率为607.97 Hz，综合多因素分析，运用MATLAB优化算法，增大刚度K2至6.23×109N/m，增大刚度K3至1.47×109N/m，增大长度L3至910 mm，减小长度L4至18 mm，光辊机构二阶固有频率可以增大到612.65 Hz，光辊机构自身的固有频率大于瓦楞机正常工作情况下对光辊机构的激振频率，可以避免共振。

5 结 论

本文建立了单面瓦楞机新型光辊机构动力学模型，瓦楞机在运行过程中，顶杆和偏心销、光辊和上瓦楞辊接触存在非线性的情况，因此，分别对线性和非线性的情况进行分析，通过数学方程的计算得到光辊机构的固有频率，为光辊机构振动特性的研究提供理论依据。

上瓦楞辊在转动的过程中对光辊产生力的作用，使光辊机构上下振动，当激振频率接近光辊机构固有频率时就会产生共振，此时振动达到最大，本文着重对较高速情况下瓦楞机的振动进行分析，通过理论分析发现瓦楞机运行速度达到160 m/min时，激振频率与光辊机构二阶固有频率非常接近，此时发生共振，通过振动测试实验验证了这一说法的正确性，进而验证了建立的数学模型的正确性，为光辊机构的改进提供理论依据，最后通过综合考虑，改变影响光辊机构固有频率的因素，提高光辊机构的固有频率，以避免共振情况的发生。