郭培昌

【摘要】问题驱动的教学方法是一个强调启发性，引导学生主动学习的教学方法.本文以数学课程教学中两个案例说明该教学法的运用.

【关键词】问题驱动式教学；高等代数；数值分析；教学方法

【基金项目】中国地质大学（北京）中央高校基本科研业务费资助项目（2652017140）.

问题驱动的数学教学，是一种以学生为主体，以专业领域内的一些特定问题作为学习起点，顺应问题本身发展的逻辑线，合理地围绕问题扩展学习内容的一种教学方法[1].教师在这种教学模式中的角色是问题的提出者、过程的设计者和结果的评价者.这种教学方法使得任课教师更好地把科研和教学结合在一起，强调启发性，强调数学内在的统一性，重视学生能力的培养.

在历史上，数学学科的经典内容是在其内部动力和外部动力的共同推动下发展起来的.所谓内部动力，就是从数学自身规律出发，在逻辑上提出的纯数学问题.而外部动力是指将实际应用中的需求经过抽象化、模型化的数学问题.所以其内容的展开本身就有着极强的逻辑性.围绕一些合适的问题，就能将整个课程的主要内容自然顺畅地串联起来.因此，问题驱动式教学在数学课程的教学中大有可为.

另一方面，对于高等学校教师来说，研究和教学是互相联系的一个有机整体.科研是教学的源头活水，如果没有科研做支撑，大学课堂教学就会失去灵魂.已故的著名科学家和教育家钱伟长曾指出，“没有科研做底蕴的教学，就是一种没有观点的教育”.在专业领域具有较高科研水平的教师，必然对相关课程的教学内容有更为深刻透彻的思考，对课程知识有更为准确的把握，在教学中更易做到“深入浅出”，帮助学生更好的学习与理解.此外，教师能够及时将最前沿的学术成果不断充实补充到自己的课堂中，弥补原有的较陈旧的课程知识与最新前沿研究之间的“断层”，这将极大地吸引学生的学习兴趣.在数学领域，在每年的国家自然科学基金项目申报中，对于应用数学和计算数学项目的资助，基金委越来越鼓励和支持问题驱动的数学研究.进入21世纪以来，伴随着我们国家从“数学大国”到“数学强国”的转变过程，基金委越来越重视更具实际背景和应用前景的基础理论和新方法研究.国家到地方的各级研究项目主管部门，鼓励面向实际问题的数学建模、分析与计算等的应用研究.为了加强对实际问题驱动的应用数学研究的支持，科学部以宏观调控方式给予倾斜资助，旨在为数学工作者构建一个平台，鼓励、促进并资助他们与应用研究人员紧密合作，从事与其他领域密切结合的应用数学研究，充分发挥数学对科技发展、经济建设及社会进步的重要作用.

因此，问题驱动的数学教学是一种顺应学科发展趋势的教学方法.此外，问题驱动的数学教学方法的另一个优势是，在学习一门数学课程时，更容易让学生了解与把握该课程的基本思想，掌握最核心、最有用、最生动的部分.

众所周知，抽象难懂是数学课程的一个显著特点.在学习数学课程时，学生可以体会到抽象的优势，学习数学的思维方式，以及如何用数学的思维方式准确、科学地理解数学现象，并将这种思维方式带到将来的学习和研究工作中去.但是，在学习数学类课程的时候，学生普遍反映课程难学.正是由于高等代数抽象的特性以及内容与知识体系的丰富性，再加上近年来的课程改革缩减了课时，使得数学学科课程的教学面临一些问题.

在教法与学法上，对于大学数学特别是数学类本科专业，对学生的数学理论知识和精确的数学思维以及数学表达（包括文字和数学表达式）要求很高.中学生学习数学，大多不需要知道知识的来龙去脉，只要会做相应的计算和简单推理，不讲究逻辑性、系统性和严密性.在进入高等教育阶段后，数学专业课程中所强调的概念、符号、逻辑以及整个体系的严密性与学生们在中学养成的习惯产生了激烈的冲突.经常在学习某个定理的时候，有学生觉得定理结论是显然的，发出“这也需要证明？”的感叹.这种现象的本质原因是数学课程所注重的学习及表达方式在中学没有源头.因此，很多学生在学习的初期遇到了极大的障碍，掉队现象嚴重，有一部分学生最后直接完全放弃.数学学科的众多分支，他们原始的核心思想与形式是朴素的、自然的，容易被人理解与接受的.只是随着历史的发展，逻辑基础的加固和各种研究的深化，他们变成了一个庞然大物，让初学者望而生畏.对于初学者来说，问题驱动的数学教学更能吸引学生的注意力.

我们以线性代数和数值分析课程中的两个教学案例来抛砖引玉，说明怎么样给出问题，简单演示如何进行问题驱动的数学教学.

线性代数处理的是有限维线性空间的理论.如果严格一点，关于线性空间的理论应该叫线性代数，再加上一点多项式理论，就叫高等代数了.在线性代数课中，引入介绍逆矩阵相关知识时，我们可以向学生介绍逆矩阵的实际用处，提高学生主动学习的兴趣和积极性[2].比如，逆矩阵可应用于通信中的信息编码和解码.编码是指采用某种算法将明文数据加密后转换成密文数据发送出去，而解码是指采用对应的算法将密文解密后转换成明文.矩阵的求逆运算正好能很好地解释这一相反的过程.

在数值分析课中，在描述插值知识的时候，我们可以引导学生主动思考.函数是描述自然界客观规律的重要工具，实际应用中许多函数是通过实验或者观测得到的，其形式是一张函数表，作一条曲线，其类型（代数多项式函数，三角函数，指数函数……）是事先人为给定的，该曲线经过所有点，这就是所谓的插值问题[3].通过让学生查找资料，分组讨论，了解插值法的产生背景，中外数学家在此问题上研究的进程，这种古老的分析问题数学方法应用在哪些课题中？分析关于多项式插值的理论依据是什么？通过这些简单的问题，我们即思考，对于函数f（x）是否存在这样的多项式函数P（x）能精确地逼近它呢？

这种问题驱动的教学模式下，教师给出数学知识的实际应用背景，引导学生自主探究.它有很多显著的优点：

1.通过事先设定的一系列和课程知识紧密联系的问题，任课教师可以直接快速地激发学生的求知欲望和主动学习的兴趣.

2.完整展现了问题从提出、推进到最后解决的全过程.在这个过程中，学生一方面，可以利用一些具体问题了解体会所学学科中科研工作是怎么展开的，另一方面，可以通过寻求问题的解决方案活跃思维并提升自身的创新能力.

3.以问题为中轴线，将很多看似零散的知识点自然地联系在一起，形成一个框架式的知识体系.学生们不容易遗忘，还能灵活使用.

【参考文献】

[1]孙绍荣.高等教育方法概论[M].上海：华东师范大学出版社，2010.

[2]丘维声.高等代数[M].北京：科学出版社，2013.

[3]李庆扬，王超能，易大义.数值分析[M].北京：清华大学出版社，2008.