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微分方程在经济管理学中的几个应用

2018-09-25易强吕希元

数学学习与研究 2018年11期
关键词:微分方程弹性

易强 吕希元

【摘要】本文探讨了微分方程在经济数量分析,特别在动态经济模型中的应用.

【关键词】微分方程;弹性;动态均衡

微分方程是微积分学中一个重要分支,是不定积分的推广应用,作为一种经济数量分析工具非常有用,在经济领域中对弹性分析和动态均衡模型用处很广.

一、由价格弹性求需求函数

例1已知某商品的需求量Q对价格P的弹性η=-(5P+2P2)Q,又知该商品价格为10时,需求量为500,求需求函数Q=f(P).

解由题意得

dQdP·PQ=-5P+2P2Q,

积分得Q=-5P-P2+C,

代入初始条件Q|P=10=500,得C=650,

故Q=650-5P-P2.

二、市场动态均衡价格

设市场价格P=p(t),需求函数Qd=b-ap(a,b>0),供给函数QS=-d+cp(c,d>0),又设价格P随时间t的变化率与超额需求(Qd-Qs)成正比,求价格函数P=p(t).

由题意,有

dPdt=A·(Qd-Qs)=-A·(a+c)p+A(b+d),p|t=0=p(0),

由一阶线性方程通解公式可得

P=e-∫A(a+c)dt∫A(b+d)·e∫A(a+c)dt+C1

=b+da+c+C1·e-A(a+c)·t.

由初始条件t=0,p=p(0),得

C1=p(0)-b+da+c,

代入上式得

P=p(0)-b+da+ce-A(a+c)·t+b+da+c,

显然,当

limt→∞p(t)=limt→∞p(0)-b+da+ce-A(a+c)·t+b+da+c=b+da+c,

即当t→∞时,均衡价格为b+da+c.

例2若某商品的市场价格p=p(t)随时间t变动,其需求函数为Qd=3-2p,供给函数为Qs=-2+3p,又设价格p随时间t的变化率与超额需求(Qd-Qs)成正比,求价格函数p=p(t).(注:t=0时,p(0)=5;比例系数A=6).

解由题意,得:

dpdt=6(Qd-Qs)=-30p+30,p|t=0=5,

解得p(t)=(5-1)e-30t+1=4e-30t+1,

易知:均衡价格为p0=limt→0p(t)=1.

三、純利润与广告费的关系

已知某厂的纯利润L对广告费x的变化率dLdx与常数A和纯利润L之差成正比,当x=0时,L=L0,试求纯利润L与广告费x之间的函数关系.

由题意得

dLdx=k(A-L),L|x=0=L0(k为常数),

得L=A-Ce-kx,

代入初始条件L|x=0=L0,得L=A(A-L0)e-kx.

例3若某工厂的纯利润L对广告费x的变化率dLdx与常数5和纯利润L之差比为2.当x=0时,L=50,求纯利润L与广告费x之间的函数关系.

解由题意得dLdx=2(5-L),L|x=0=50,

得L(x)=5+45e-2x.

【参考文献】

[1]吴传生.经济数学:微积分[M].北京:高等教育出版社,2006.

[2]王永祥.应用经济数学[M].上海:上海交通大学出版社,2004.

[3]王珺,贺莉.浅谈微分方程衔接性教学[J].教育教学论坛,2017(8):155-156.

[4]廖莉.常微分方程在数学建模中的应用[J].课程教育研究,2017(38):139-140.

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