张 健，曹 燕

(哈尔滨理工大学理学院，黑龙江 哈尔滨 150080)

1 预备知识

文献[1]研究了李color代数的广义导子.文献[2-4]讨论了李三系的广义导子、Jordanθ-导子和广义Jordan导子.李超三系和李超代数的广义导子的结论在文献[5-6]中得以推广.文献[7]给出了李color三系的定义.李color三系是李三系和李三超系的推广，从而一个自然的问题被提出，即李三系上的一些结果能否推广到李color三系上.文献[8]研究了李color三系导子的一些结果，本文在其基础上给出了李color三系的导子、广义导子和拟导子的一些结果.

本文中F表示特征不为3的任意域.

定义1.1[1]设G是交换群，F是任意域.映射ε：G×G→F{0}称为G的斜对称双特征标(或交换因子)，如果∀α，β，γ∈G，都有下列三个等式成立：

ε(α，β)ε(β，α)=1，

ε(α，β+γ)=ε(α，β)ε(α，γ)，

ε(α+β，γ)=ε(α，γ)ε(β，γ).

在本节中，如果x，y，z是G-阶化向量空间中的齐次元，则以|x|，|y|，|z|∈G表示它们的次数.为方便起见，用ε(x，y)代表ε(|x|，|y|)，用ε(x，y+z)代表ε(|x|，|y|+|z|)，以此类推.此外，符号ε(x，y)若出现便意味着x，y是齐次元.

[Aɡ，Aɡ′]⊆Aɡ+ɡ′，∀ɡ，ɡ′∈G，

[x，y]=-ε(x，y)[y，x]，∀x∈A|x|，y∈A|y|，

ε(z，x)[x，[y，z]]+ε(x，y)[y，[z，x]]+ε(y，z)[z，[x，y]]=0，∀x∈A|x|，y∈A|y|，z∈A|z|.

对任意x，y，当ε(x，y)=(-1)|x||y|时，李color代数成为李超代数；当ε(x，y)≡1时，李color代数成为李代数.因此，李color代数是一类包含李代数和李超代数的更广泛的代数结构.

(1) [x，y，z]=-ε(x，y)[y，x，z]；

(2)ε(z，x)[x，y，z]+ε(x，y)[y，z，x]+ε(y，z)[z，x，y]=0；

(3) [u，v，[x，y，z]]=[[u，v，x]，y，z]+ε(u+v，x)[x，[u，v，y]，z]+ε(u+v，x+y)[x，y，[u，v，z]]，∀x，y，z，u，v∈T.

则称T是color三系.

对任意x，y，当ε(x，y)=(-1)|x||y|时，李color三系成为李三超系；当ε(x，y)≡1时，李color三系成为李三系.因此，李color三系是一类包含李三系和李三超系的更广泛的代数结构.

Endθ(T)={D∈End(T)|D(Tμ)⊆Tθ+μ，∀μ∈G}.

[Dθ，Dμ]=DθDμ-ε(θ，μ)DμDθ，∀Dθ，Dμ∈End(T).

直接验证可知关于此方括号乘法，End(T)是一个李color代数.

定义1.4[7]设T是域F上的李color三系，D∈Endθ(T)，其中θ∈G.如果

D([x，y，z])=[D(x)，y，z]+ε(θ，x)[x，D(y)，z]+ε(θ，x+y)[x，y，D(z)]，

∀x，y，z∈T，则称D是T的次数为θ的导子.

[D(x)，y，z]+ε(θ，x)[x，D′(y)，z]+ε(θ，x+y)[x，y，D″(z)]=D‴([x，y，z])，

∀x，y，z∈T，则称D是T的次数为θ的广义导子.若存在D′∈Endθ(T)，满足

[D(x)，y，z]+ε(θ，x)[x，D(y)，z]+ε(θ，x+y)[x，y，D(z)]=D′([x，y，z])，∀x，y，z∈T，

则称D是T的次数为θ的拟导子.

令GDerθ(T)为T的所有次数为θ的广义导子的集合，QDerθ(T)为T的所有次数为θ的齐次拟导……